也谈恒成立与存在性问题的处理|恒成立和存在

　　高三数学复习中的恒成立与存在性问题，涉及一次函数、二次函数等函数的性质、图像，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养学生思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.因此也成为历年高考的一个热点.恒成立与存在性问题的处理途径有多种，下面通过实例来谈谈对它们的处理方法.
　　一、恒成立问题
　　1.?坌x∈D，f（x）＞g（x）型
　　对于形如?坌x∈D，f（x）＞g（x）的问题，需要先设函数y＝f（x）-g（x），再转化为?坌x∈D，y＞0.
　　例1：已知函数f（x）＝x|x-a|+2x，求所有的实数a，使得对任意x∈［1，2］时，函数f（x）的图像恒在函数g（x）＝2x+1图像的下方．
　　解：由题意得对任意的实数x∈［1，2］，f（x）＜g（x）恒成立，即x|x-a|＜1在［1，2］上恒成立，也即x-＜a＜x+在［1，2］上恒成立，故当x∈［1，2］时，只要x-的最大值小于a且x+的最小值大于a即可，而当x∈［1，2］时，x-′＝1+＞0，从而x-为增函数，由此得（x-）＝；当x∈［1，2］时，x+′＝1-＞0，从而x+为增函数，由此得（x+）＝2，所以＜a＜2.
　　【点评】在处理f（x）＞c的恒成立问题时，如果函数f（x）含有参数，一般有两种处理方法：一是参数分离，将含参数函数转化为不含参数的函数，再求出最值即可；二是如果不能参数分离，可以用分类讨论处理函数f（x）的最值．
　　2.?坌x，x∈D，|f（x）-f（x）|≤C型
　　对于形如?坌x，x∈D，|f（x）-f（x）|≤C的问题，因为|f（x）-f（x）|≤f（x）-f（x），所以原命题等价为f（x）-f（x）≤C.
　　例2：已知函数f（x）＝ax+bx-3x（a，b∈R），在点（1，f（1））处的切线方程为y+2＝0.（1）求函数f（x）的解析式；（2）若对于区间［-2，2］上任意两个自变量的值x，x，都有|f（x）-f（x）|≤c，求实数c的最小值．
　　解：（1）∵f′（x）＝3ax+2bx-3，
　　根据题意，得f（1）=-2f′（1）=0即a+b-3=-23a+2b-3=0，解得a=1b=0，∴f（x）＝x-3x.
　　（2）令f′（x）＝3x-3＝0，即3x-3＝0，解得x＝±1.
　　∵f（-1）＝2，f（1）＝-2，∴当x∈［-2，2］时，f（x）＝2，f（x）＝-2.
　　则对于区间［-2，2］上任意两个自变量的值x，x，都有 |f（x）-f（x）|≤f（x）-f（x）＝4，所以c≥4，即c的最小值为4.
　　【点评】在处理这类问题时，因为x，x是两个不相关的变量，所以可以等价为函数f（x）在区间D上的函数差的最大值小于c，如果x，x是两个相关变量，则需要代入x，x之间的关系式转化为一元问题．
　　3.?坌x，x∈D，|f（x）-f（x）|≤a|x-x|型
　　形如?坌x，x∈D，|f（x）-f（x）|≤a|x-x|这样的问题，首先需要根据函数f（x）的单调性去掉|f（x）-f（x）|≤a|x-x|中的绝对值符号，再构造函数g（x）＝f（x）-ax，从而将问题转化为新函数g（x）的单调性．
　　例3：已知函数f（x）＝x-1-alnx（a∈R）．若a＜0，且对任意x，x∈（0，1］，都有|f（x）-f（x）|≤4-，求实数a的取值范围．
　　解：f′（x）＝1-＝，其中x＞0.∴当a＜0时，f′（x）＞0恒成立，函数f（x）在（0，1］上是增函数，又函数y＝在（0，1］上是减函数.
　　不妨设0＜x≤x≤1，则|f（x）-f（x）|＝f（x）-f（x），-＝-，所以|f（x）-f（x）|≤4-等价于f（x）-f（x）≤-，即f（x）+≤f（x）+.
　　设h（x）＝f（x）+＝x-1-alnx+.则|f（x）-f（x）|≤4-等价于函数h（x）在区间（0，1］上是减函数.因为h′（x）=1--=，所以所证命题等价于证x-ax-4≤0在x∈（0，1］时恒成立，即a≥x-在x∈（0，1］时恒成立，即a不小于y=x-在区间（0，1］内的最大值.而函数y=x-在区间（0，1］上是增函数，所以y=x-的最大值为-3，所以a≥-3.又a＜0，所以a∈［-3，0）.
　　［点评］?坌x，x∈D，|f（x）-f（x）|≤a|x-x|等价为k=≤a，再进一步等价为f′（x）≤a的做法由于缺乏理论支持，解题时不可以直接使用.况且本题的第（2）问不能把 |f（x）-f（x）|≤4-转化为≤4，所以这类问题还是需要按照本题第（2）问的处理手段来处理.
　　在处理恒成立问题时，首先应该分辨所属问题的类型，如果是关于单一变量的恒成立问题，首先考虑参数分离；如果不能参数分离或者参数分离后所形成函数不能够处理，那么可以选择分类讨论来处理；如果是关于两个独立变量的恒成立问题处理，只需要按照上探究点中所讲类型的处理方法来处理即可.
　　二、存在性问题
　　1.?坌x∈D，?埚x∈D，f（x）=g（x）型
　　对于?坌x∈D，?埚x∈D，f（x）=g（x）的研究，若函数f（x）的值域为C，函数g（x）的值域为C，则该问题等价为C?哿C.
　　例1:设函数f（x）=-x-x+x-4.
　　设a≥1，函数g（x）=x-3ax-2a.若对于任意x∈［0，1］，总存在x∈［0，1］，使得f（x）=g（x）成立，求a的取值范围.
　　解：f′（x）=-x-x+，令f′（x）＞0，可知：当x∈［0，1］时，f（x）单调递增，
　　∴当x∈［0，1］时，f（x）∈［f（0），f（1）］，即f（x）∈［-4，-3］.
　　又g′（x）=3x-3a，且a≥1，∴当x∈［0，1］时，g′（x）≤0，g（x）单调递减，
　　∴当x∈［0，1］时，g（x）∈［g（1），g（0）］，即g（x）∈［-3a-2a+1，-2a］，