利用集合思想分析命题间的关系 命题与集合关系

　　在数学学习中，正确理解概念、法则、定理等，是学好数学的基本要求，也是学习数学的重要途径，而数学中的概念、法则、定理、性质等，就其表述形式来看，都可以称为命题，站在集合的角度再去理解时，无疑会让大家更加清晰、明白。
　　数学命题的最见形式是p=>q，或者说成“若p则q”，命题有四种形式，即原命题、逆命题、否命题和逆否命题，它们之间关系如表：
　　这是我们熟知的，现在我们用集合思想分析四种命题的真假关系。通常设U={所讨论对象的全体}，又设Ma={具有性质A的对象}，Mb={具有性质B的对象}。比如：U={四边形}，Ma={矩形}，Mb={平行四边形}时，四种形式就可以转化为相应的集合间的包含关系：1
　　原命题 逆命题 否命题 逆否命题
　　P=>q q=>p p=>q q=>p
　　MaMb　MbMa　cumacumb　cumbCuma
　　基于此，命题间的关系随之就转化为集合间的包含关系了。而且容易理解：
　　1.当MaMb成立时，未必有MbMa成立，所以，原命题为真时，逆命题未必为真也就容易理解了。同理，否命题与逆否命题之间的关系也是这样。
　　2.当MaMb成立时，也未必有cuMacuMb成立，所以，原命题为真时，否命题未必为真同样也就容易理解了，同理，逆命题与逆否命题之间的关系也是这样。
　　3.若MaMb成立时，必有cuMbCuMa，反之亦然，这就说明原命题与其逆否命题真假是等价的。
　　4.如果MaMb成立时，同时MbMa也成立，必有Ma=Mb，当然，CuMa=cuMb，由此可见，原命题与逆命题同时为真时，否命题与逆否命题也同时为真。
　　基于上述命题间关系的集合表示，否定一个命题的结论后会得到哪些肯定的结果，也就变得容易理解了。例如，在应用反证法证明时，对结论的否定，如果利用集合工具加以分析，则能收到较好效果。
　　否定“a是3或5的倍数”，得到什么结果呢？常常会有同学说成“a不是3的倍数也不是5的倍数”，这种说法是错误的。我们就从集合的角度分析这个命题。分别用A和B表示“3的倍数”和“5的倍数”，那么A∩B就表示“3和5的倍数”，即既是3的倍数也是5的倍数的数的集合，显然其否定为cuA∩B，由摩根定律，cuA∩B=cuA∪cuB，可见，正确的回答应该是“a不是3的倍数或者a不是5的倍数”。