【重新审视整数乘法估算教学】乘法估算教学视频

　　 估算是日常生活中应用较为广泛的一种心智活动。估算对培养学生的估算意识，能力，让学生拥有良好的数感，具有重要的价值。本文就整数乘法估算教学如何估算、怎样取值，谈一孔之见，求教同人。
　　一、算法――仁者见仁，智者见智
　　1.镜头回放。《福建教育》曾刊登《讨论：标准答案是否合理》一文，其背景是：某地小学毕业考题：“同学们做早操，每行22人，排成28行，这些同学大约有（ ）人。”学生的答案有四类：第一类，560、600、660。第二类，616。第三类，答案在560到660之间的整数（不包括560和660），如565、570、580、610、659等。第四类，大于660或小于560，如500、750等。
　　2.同题再考查。就该题，笔者再次考查了3～6年级的部分学生，有如下几种估算法：
　　①把22看成30，把28看成30，22×28≈900。
　　②把22看成20，把28看成30，22×28≈600。
　　③把22看成30，把28看成20，22×28≈600。
　　④把22看成20，把28看成20，22×28≈400。
　　⑤把28看成30，22×30=660，所以22×28≈620。
　　⑥把22看成20，20×28=560，所以22×28≈610。
　　⑦22×28=616，所以22×28≈620。
　　⑧22×28=616，所以22×28≈616。
　　这些算法，大致可做如下归纳、分析：一是“先估后算”。第①②③④种算法，先取两个因数的近似数，即把因数看作整十数，然后直接口算出其结果。但第①④种算法的结果大幅度偏离估值；比较第②③种算法，虽然估值相同，但第③种算法并非“常规”估法，而是“算了再估”。第⑦种算法，先算出准确得数，再用四舍五入法取其近似数。这种算法混淆了“估算”与“算估”两个不同的概念。三是“估后补偿”。第⑤⑥种算法，先只取其中一个因数的近似数进行计算，然后根据“因数估大还是估小”，再“补偿”估值。其中，第⑤种算法就是根据“因数估大”而把估值“调小”，而第⑥种算法则是根据“因数估小”把估值“调大”。四是“准确计算”。第⑧种算法，用准确得数作估值。
　　“22×28≈？”是常见的估算题，在现实生活中常常遇到。学生的算法可取与否，估值妥当与否，存在不同的看法。
　　二、看法――各执一词，莫衷一是
　　西南大学数学与统计学院王鲜凤老师在《新课程下小学估算教学中的问题探析》一文中指出：“教师认为只要和准确答案接近的得数都算对，差得太远就算错。如何判断一个估算答案是‘接近’准确值还是与准确值‘差得太远’。国内外许多研究者所认同的记分方式是：误差在10%之内的估算答案记3分，误差在20%～10%的估算答案记2分，误差在30%～20%的估算答案记1分，得到精确答案及误差在30%以外的估算答案记0分（误差是由估算答案与精确答案的差的绝对值除以精确答案再乘100%）。”
　　“镜头回放”中某小学的毕业考题所列出的“22×28≈？”一题的评分标准也认定只有误差在10%之内的估算答案得满分，其余答案均不能得满分。对此，一些教师坚持只有“评分标准答案”能得分，而另一部分教师则认为，其他三类答案也各有各的独到之处，甚至比“评分标准答案”更好地体现了估算知识的应用。《福建教育》组织有关教师“结合各类答案是否应该得分”进行讨论，大家各抒己见，有的老师认为，估算既然是粗略估计，就不能对答案太苛刻。有的认为，估算与精算是相对立的，如果把估算与精算画上等号，就失去了估算的意义。有的认为，有的学生掌握了速算技巧，还要他们估算就有点强人所难了。有的认为，估算的方法是多样的，应鼓励学生根据需求采用个性化的方法……由此可知，专家、学者、教师对估算的看法是“公说公有理，婆说婆有理”，似缺统一的评判“标准”。
　　三、建议――持之有故，言之成理
　　从某种意义上说，估算是一种速算。估算在强调过程与结果的同时，应特别强调结合具体情境估算，根据不同个体的思维方式选择估法，有度取舍估值。
　　1.估法要“适合”。数学课程标准对“估算”明确指出：“第一学段，能结合具体情境进行估算，并解释估算的过程。”“第二学段，在解决具体问题的过程中，能选择合适的估算方法，养成估算的习惯。”第二学段特别强调“在具体情境中估算”。
　　⑴估法要“就事论事”。按上述要求，就是根据现实生活中存在的不同的数学问题，采取切合实际的估算策略。就“22×28≈？”来说，在不同的情境中，所采取的估算策略是不同的。
　　例1：“28位同学参观博物馆，每张门票22元，大约要准备多少钱？”一般而言，购买门票需要多准备些钱，宜把结果估大些。常见的估法有：①把22看成30，22×28≈840；②把28看成30，22×28≈660。这两种估法，均把其中一个因数估大，使估值变大，都能确保“购买门票时准备足够的钱”。其中，第①种的估值远偏离正确值，而第二种的估值比较接近正确值，采取第②种方法解决本问题更趋于合理。如果“把28看成30，把22看成20，22×28≈600”，权衡之下（把28看成30，多看了2个22，即44；把22看成20，少看了2个30，即60），结果估小了，此时“把其中一个因数估大、另一个因数估小”的估法，不能合理解决本问题，不切合该情境实际。
　　例2：“学校的阶梯教室每排22个座位，28排大约能坐多少人?”根据容纳（容量）情境，一般要把结果估小些，以确保教室能容纳得下观众。常见的估法有：①把22看成20，22×28≈560；②把28看成20，22×28≈440；③把22看成20，把28看成30，22×28≈600。比较这几种估法，第①②种均把其中一个因数估小，使估值变小，但第②种结果远偏离正确值，而第③种“把其中一个因数估大、另一个因数估小”，结果估小了。这样的结果均能解决“教室容得下观众”这一问题。
　　估算的目的在于解决问题，不同的估算问题所采取的策略并不完全统一，诸如求购物消费问题、求租车费用问题、球表面积所需材料问题……应采取“大估”法，把因数估大些，使结果变大；类似于求杯子的容积、求某种原材料可制作的成品数量、求租车所需辆数、求租船所需条数等估算问题，宜采取“小估”法，把结果估小些。当然，像例1“把22看成30”、例2“把28看成20”来估算，虽然也能使问题得到解决，但这种“非常规”估法显然不够科学、合理。在教学中，教师应引导学生结合具体情境采取妥当估法，使结果尽可能接近准确值，使问题得到更合理地解决。一言之，估算应视具体情况“就事论事”，灵活采用不同的估算方法。
　　⑵估法要“因人而异”。数学课程标准强调的是“鼓励算法多样化”，而《教师用书》建议的是“把因数看成整十、整百的数来计算”。二者对“怎样估算”没有“统一的标准”。再者，《教师用书》对三、四年级的“估算教学建议”也有所不同：对三年级上册提出“两、三位数乘一位数的估算是通过把两、三位数看成整十、整百的数来计算”；对三年级下册提出“两位数乘两位数的估算是通过把两位数看成整十数来计算”；对四年级上册明确了“估算基本方法的内涵就是：接近准确值（符合实际）；计算方便（将两个因数看成整十、整百或几百几十的数）”。对比数学课程标准的要求，估算要尊重学生的个性化表现。
　　例3：“101×86≈？”估算时，一定要“把101看成100，算出101×86≈（8600）”、“把86看成90，算出101×86≈（9090）”，或者“把101看成100，把86看成90，算出101×86≈（9000）”吗？对于掌握“速算”技巧的某些学生来说，因为101与任意两位数相乘的结果，只要连续重复把这个两位数写两遍，即得数是8686，不仅快速，而且无误。若把此题改为“102×86≈（ ）”，完全可以“把102看成101，快速估出101×86≈（8686）”，这比“把102看成100，算出101×86≈（8600）”更“接近准确值”。诸如此类，还有“头同尾补”、“尾同头补”的两位数乘法速算等。
　　例4：“253×7≈？”如果把253看成220、230……290，能快速算出220×7、230×7……290×7的结果吗？显然，此时“将因数看成几百几十的数”来估，不能快速得到结果。如果把253看成200、210或300，则能快速算出200×7、210×7、300×7的结果，同样，把7看成10，也能快速算出253×10的结果，但是，如此估算，其结果“接近准确值（符合实际）”吗？这和盲目乱估有何区别呢？
　　估算是一种特殊的心智过程。估算强调的是“快”，而笔算强调的是“精”。估算是为了快速地得到被估结果，与之相比较，笔算“纸笔过程”显得费时。所以，估算时，只要学生能快速估出“接近准确值（符合实际）”的结果都是允许的。如果某些学生具有“特殊”的速算方法或技巧，得出“镜头回放”中的答案“22×28≈616”应是允许的。当然，学生采用“笔算”的方法获得“估算”问题的结果是绝对不可取的。波利亚指出：“学习任何知识的最佳途径是由自己发现，因为这种发现理解得最深，也最容易掌握其中的规律、性质和联系。”每个人的思维方式不同，表现出对相同数学问题的处理方法也可能不一样。因而，在“加强估算，鼓励解决问题策略的多样化”的理念下，我们要尊重不同个体根据其知识结构、认知规律、思维方式采取适合“自己”的妥当估法。
　　2.估值要“适度”。
　　 例5，“六一”节，王老师准备购买单价24元的奖品，分别奖给班上的4位同学，王老师大约要准备多少钱？”此题，估算24×4≈（ ）。根据该问题，应把结果估大些，如果把24看成25，很快估出24×4≈（100），且“估算”与“准确值”极相近。学生接触到这一知识就懂得25×4、125×8的积是整百、整千的数，这或许是教师在教学中有意识地“教给”学生的一种“技能”，使之在后天的计算中逐步形成一种潜意识的简算“条件反射”。
　　 既然可以“把24看成25，估算出24×4≈（100）”，那么“估算25×4≈（ ）”时，为什么就不可以“把25看成25，算出25×4≈（100）”呢？如果说“估算与精算是相对立的，把估算与精算画上等号，就失去了估算的意义。”此时的“估值”与“准确值”画上了等号，不就失去估算的意义了吗？如果按“得到精确答案的估算记0分”的方式记分，不就应该“记0分”吗？再说，按“将因数看成整十的数”来估算此题，当学生“把25看成30，算出25×4≈（120）”，答案与准确值的误差为20%，按“镜头回放”的评分标准不能记满分或记0分。按这样的“记分方式”，学生也只有“把25看成23、24、26、27”来估算（答案的误差均在10%之内）才能记满分。这岂不是为估而估吗？这岂不是逼着学生把简单的问题复杂化吗？
　　估算结果是学生心智活动的一种表现形式。估算的结果必须有一个“范围”，也就是“度”。如果没有一个度的话，必然造成学生“盲目乱估”，滋长其不端正的学习态度。关于纯粹算式的两位数乘法估算，一般情况下，其结果的取值范围在最大值（用进一法将两个因数看成整十、整百数后的乘积）和最小值（用去尾法将两个因数看成整十数后的乘积）之间。关于解决具体情境问题的乘法估算，吴正宪老师认为“结构合理方为正确”。这个“合理”其实就是取值区间问题。像例1“购票”问题，取值区间介于“准确值”和“最大值”之间，方能“合理”解决“购票备钱”问题；像例2“容纳”问题，取值区间介于“准确值”和“最小值”之间，方能“合理”解决“教室容纳观众”问题。当然，像“22×28=？”1.若“把22看成30，把28看成30，22×28≈900”；2.若“把22看成20，把28看成20，22×28≈400”。这样的结果，大幅度偏离准确值，只能说估法“有道理”，而结果“不合理”。应该指出的是，无论是纯粹算式乘法估算，还是解决问题乘法估算，其估值越接近准确值（符合实际）越具科学性、合理性。值得一提的是，准确值可以作为估值。不难理解，“不准确”的估算结果姑且能解决问题，那么。“准确”的估算结果不是能更精准地解决问题吗？这又何尝不可呢？难道估算的结果必须是一个“大致的数”才算对，评价时才给学生分数？笔者认为，估算结果可以是“准确值”。所以说，“镜头回放”中的“22×28≈616”（“准确值”作“估值”）也是正确的。有老师会问：“这岂不是‘≈’和‘=’没有区别了吗？”二者还是有区别的，估算强调的结果――度（大致范围），准确值也属于这个“度”范畴内的一个数，因此，估算的结果可以是正确值：笔算强调的结果――准（准确无误），因此笔算的结果不能用“大致的数”来表示。
　　3.命题要“适宜”。我们不妨回头看看“22×28=？”评卷中“怎样取值”的争议，争议其实是由于教师在评卷标准不统一而引发的。常见的考查估算方法有口试、笔试等。口试是一种即时性反馈，教师能及时获得某些学生的估算过程，可以说，口试估算具有过程上的可见性，评价者不易出现评价上的“盲区”。相对而言，笔试是一种延时性反馈，学生常常“只写结果不写过程”，其思考过程我们往往不得而知，这种估算过程上的不可见性，常常给评价者因“只见树木，不见森林”而带来诸多争议。在评卷过程中，为避免引发教师之间无谓的争端，我们可以设计如下笔试题型考查学生掌握估算技能的情况：
　　⑴连一连。
　　28×32 得数比1800大，
　　 比2800小。
　　76×59 得数比3500大，
　　 比4800小。
　　65×37 得数比600大，
　　 比1200小。
　　⑵选一选。
　　①“28位同学参加博物馆，每张门票22元，大约要准备多少钱？”最合适的估算方法是（ ）。“学校的阶梯教室每排22个座位，28排大约能坐多少人？”最合适的估算方法是（ ）。
　　A.22×28 B.28×20 C.22×30
　　D.20×20 E.30×30 F.22×25
　　②如果□代表一个数字，估算7□×38的结果，错误的是（ ）
　　A.比2100大 B.比3200小
　　C.4000左右 D.3000左右
　　在上述题型中，“连一连”着重考查学生的估算取值范围，能有效规避纯粹算式计算估算因多样结果而引发评价标准不统一的争议。“选一选”第①题结合具体情境选择合适的估算方法，能较好地体现考查学生的估算策略；第②题考查学生的估算思考过程，利于培养学生思维的深刻性。古人云：“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。”教学中，教师应引导学生自觉地将估算训练贯穿于现实生活的始终，使之养成估算习惯，形成估算意识，发展估算能力。
　　作者单位
　　福建省闽侯县上街马保小学
　　◇责任编辑：曹文◇