【几种递推数列通项的求法】特征根法求高阶递推数列通项证明
四川内江铁路中学 641001 摘要：本文主要介绍了几种典型、常见的递推数列通项公式的求法. 关键词：数列；递推公式；通项公式；待定系数法；类型
递推数列通项公式的求法在近几年的高考试题中屡见不鲜. 解题时，常将数列的递推公式进行一系列变换，构造出等差型、等比型、累加型、累积型等简单数列，从而达到解决问题的目的. 下面介绍几类常见的递推数列的通项公式的求法.
[⇩]类型1：an+1=an+f（n）
由于an+1－an=f（n），所以用“累加相消法”即可解决. 即an=（an－an-1）+（an-1－an-2）+…+（a2－由于=f（n）， 所以用“累乘相约法”即可解决. 即an=・…・a1.
例2已知a1=5，an+1=5n+1an，求an.
解析由=5k+1，可得an=・…・a1=5n・5n-1…52・5=5.
[⇩]类型3：an+1=ban+c（b≠1，bc≠0）
这种类型采用待定系数法求解. 即设an+1－k=b（an－k），其中k=，故an
－成等比数列.
例3已知a1=1，an+1=2an+1，求an.
解析设an+1－k=2（an－k），则易得k=－1，所以an+1+1=2（an+1）.
即｛an+1｝是首项为2，公比为2的等比数列，所以an+1=2×2n-1=2n. 所以an=2n－1.
[⇩]类型4：an+1=pan+an+b
这种类型可采用待定系数法求解. 即设an+1－［A（n+1）+B］=p・［an－（An+B）］，其中A=，B=，则｛an－（An+B）｝成等比数列.
例4已知a1=－，an+1=3an+2n+1，求an.
解析设an+1-［A（n+1）+B］=3［an-（An+B）］，则an+1=3an－2An+A－2B，
故2n+1=－2An+A－2B对正整数n恒成立.
于上得A=－1，B=－1.
所以｛an+n+1｝成等比数列.
[⇩]类型5：an+1=ban+p・qn（b≠q）
这种类型可采用待定系数法求解. 即设an+1－A・qn+1=b（an－A・qn），则A=，且｛an－A・qn｝成等比数列.
例5已知a1=－1，an+1=3an+2n+1，求an.
解析设an+1－A・2n+1=3・（an－A・2n），则an+1=3an－A・2n.
所以2n+1=－A・2n恒成立. 于是可得A=－2，即｛an+2n+1｝成等比数列.
[⇩]类型6：an+1=b（n）a（k≠1，b（n）>0，an>0）
两边取对数，转化为lgan+1=klgan+lgb（n），再用待定系数法即可求解.
例6已知a1=4，an+1=10na，求an .
解析显然an>0，故两边取对数得lgan＋1=2lgan+n，
设bn=lgan，则bn+1=2bn+n，这就转化为类型4了.
[⇩]类型7：an+1=（pq≠0）
对这种类型，两边取倒数得=・+，
设bn=，则bn+1=・bn+.
这就转化为类型3了.
例7已知a1=，an+1=，求an.
解析由an+1=两边取倒数得=-1，设bn=，
则bn+1=2bn－1.
从而转化为类型3（以下略）.
[⇩]类型8：an+1=（an≠0，pq≠0，pc≠qb，b≠0）
对这种类型可用待定系数法构造新数列，即设an+1+x=，与已知条件比较，求得x，y，再设bn=an+x，得bn+1=，从而转化为类型7.
例8已知数列｛an｝中，a1=2，且an+1=，n∈N+，求数列｛an｝的通项公式.
（1）若Sn结构简单，则消去Sn，转化为递推式f（an，an-1），再化为上述几种类型求解.
例9已知Sn=2an+（－1）n，n∈N+，求an .
解析（1）因为an+1=Sn+1－Sn=［2an+1+（－1）n+1］－［2an+（－1）n］=2an+1－2an－2（－1）n，
所以an+1=2an+2・（－1）n. 这就转化为类型5的情形了.
（2）若Sn相对复杂，则消去an，转化为递推式f（Sn，Sn－1）=0，再化为上述几种类型求解.
例10已知2S=2anSn-an+2，n∈N+，求an .
解析当n≥2时，an=Sn－Sn-1，故2S=2（Sn－Sn-1）・Sn-（Sn－Sn-1）+2 .
所以Sn=. 将Sn看成an，就转化为类型8的情形了.
[⇩]类型10：an+2=pan+1+qan
用待定系数法构造新数列，即设an+2－xan+1=y（an+1－xan），其中x+y=p且xy=－q，则数列｛an+1－xan｝是以y为公比的等比数列.
例11已知a1=2，a2=3，an+2=3an+1－2an，求an .
解析设an+2－xan+1=y（an+1－xan），则
y=2 中的一组解，即可转化为类型5求解.
于是可求得an=2n-1+1.
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