【向量法打动三角形之“心”】用向量法证明三角形三条中线共点
广东珠海斗门第一中学519100 摘要：三角形的外心、内心、重心、垂心以及正三角形的中心与几何有关图形的性质有机地结合，可拓宽应用的范围，使很多几何问题很快得到解决，特别是在用向量法解题时，若能记住一些关于“心”的性质，可大大简化解题过程.
关键词：外心；内心；重心；垂心；轨迹；向量；优越性
向量本身具有双重身份，一是几何形式――它既有大小，又有方向，并用有向线段来表示，其运算都具有明确的几何意义；二是代数形式――平面内的任一向量可以用有序实数对来表示，其运算都具有相应的代数表示形式. 这使得向量成为了沟通几何与代数的强而有力的工具，同时也为几何证明开辟了全新的途径.
利用向量工具来进行几何证明遵循一定的规律，即是我们所熟悉的“三部曲”，其简单表述为：形到向量――向量的运算――向量和数到形.
运用传统欧氏几何的证明方法来证明三角形的特殊几何点（重心、垂心、内心、外心）的存在性是比较难的. 若利用向量，则可以把复杂的几何证明转化为简单的向量运算，从而有效地简化问题.
本文将利用向量来证明三角形“四心”的相关性质，并以此来体现向量证明的优越性.
[⇩]三角形重心（中线交点）性质
命题1点O是△ABC的重心的充要条件是++=0．
证明必要性：
若O是△ABC的重心，则每条中线被重心分成2∶1的两段，因此
若++=0，如图1，以OA，OB为邻边作平行四边形OAC′B，设OC′与AB交于点D，则点D为AB的中点.
[A][F][C][O][E][B][C′][D]
图1
所以+=.①
由++=0，
得+=－ .②
由①②得－=. 所以C，O，C′三点共线，而点D在OC′上，故C，O，D共线，即CD为△ABC的边AB上的中线. 因此点O是△ABC的重心.
命题２若点O是△ABC的重心，则S△AOB=S△BOC=S△COA=S△ABC .
证明 如图2， E，D，F分别为AC，BC，AB的中点，三条中线的交点为O. 此时
[A][E][C][D][O][F][B]
图2
S△COA=S△ACF－S△AOF，S△BOC=S△BCF-S△BOF，于是S△COA=S△BOC.同理S△COA=S△AOB，S△AOB=S△BOC. 综合以上可得S△BOC=S△AOB=S△AOC=S△ABC .
命题３P是△ABC所在平面内任一点. O是△ABC的重心⇔=（++）.
证明=+=+=+⇒3=（++）+（++）.
因为O是△ABC的重心，所以++=0⇒++=0，即3=++，由此可得=（++）.
反之亦然，证明略.
应用１已知O为平面内一点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足=+λ（+），λ∈（0，+∞），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）
A. 重心 B. 垂心
C. 外心 D. 内心
解析由题意得=λ（+），则与△ABC的中线共线，故选A.
[⇩]三角形内心（内角平分线交点）性质
命题４O是△ABC内心的充要条件为－＝－＝－＝0.
证明＝
・cos∠BAO，＝
・cos∠CAO. 因为O是△ABC内心， ∠BAO=∠CAO，所以＝，即－＝0． 反之亦然，证明略.
同理O是△ABC的内心⇔－＝－＝0.
命题５O是△ABC内心的充要条件是a+b+c=0.
证明=+，=+，代入a+b+c=0中，则有=. 因c=
+. 由平行四边形法则知+与∠BAC的平分线共线，即过△ABC的内心. 同理知，都过△ABC的内心，即O是△ABC的内心．
反之亦然，证明略.
应用２O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+λ
+，λ∈［0，+∞），则P点的轨迹一定通过△ABC的（）
A. 外心 B. 内心
C. 重心 D. 垂心
解析是向量的单位向量. 设与方向上的单位向量分别为e1和e2，又－=，则原式可化为=λ・（e1+e2）. 由菱形的基本性质知AP平分∠BAC，那么在△ABC中，AP平分∠BAC. 故选B.
[⇩]三角形垂心（高线交点）性质
命题６ O是△ABC所在平面上的一点，若・=・=・，则O是△ABC的垂心.
证明由・=・得・－・=0，即・（－）=0，・=0，则OB⊥CA. 同理，OA⊥BC，OC⊥AB，所以O为△ABC的垂心.
命题7O是△ABC所在平面上的一点，满足
2，所以2－2=2－2. 于是（－）・（＋）＝（－）・（＋），则・（＋－＋）＝0，即2・=0. 因此⊥. 同理⊥，⊥. 所以O为△ABC的垂心.
应用3已知O是△ABC所在平面内的一点，动点P满足=+λ・
表示与垂直的向量，即点P在过点A且垂直于BC的直线上，从而点P一定过△ABC的垂心.
[⇩]三角形外心（中垂线交点）性质
命题8O是△ABC的外心⇔
（或2=2=2）.
证明设D为AB的中点，由2－2=0，得（－）・(+）=・2=0. 所以O为AB中垂线上的点. 同理可得O为BC，AC边中垂线上的点，因此O是△ABC的外心.
反之显然成立.
应用4已知向量，，满足条件++=0，
=1，求证：△P1P2P3是正三角形.
证明 由已知+=-，两边平方得・=－. 同理 ・=・=－，且
=1，所以
=. 从而△P1P2P3是正三角形. 反之，若点O是正三角形△PPP的中心，则显然有++=0，且
. 即O是△ABC所在平面内一点，++=0且
⇔点O是正三角形P1P2P3的中心.
应用5若O，H分别是△ABC的外心和垂心. 求证:=++.
证明 若△ABC的垂心为H，外心为O，如图3.
[A][D][H][O][B][C]
图3
连结BO，并延长交外接圆于点D，连结AD，CD. 所以AD⊥AB，CD⊥BC. 又垂心为H，AH⊥BC，CH⊥AB，所以AH∥CD，CH∥AD. 所以四边形AHCD为平行四边形. 所以==+.
故=+=++.
应用6著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”――外心、重心、垂心的位置关系：
（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线――“欧拉线”；
（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外心到垂心连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍.
“欧拉定理”的向量形式可化为：设O，G，H分别是锐角三角形ABC的外心、重心、垂心. 求证 : =.
证明 按重心性质（命题3）知G是△ABC的重心⇔=（++）. 由“应用5”知 =++. 由此可得=.
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