[圆锥曲线中定值问题的求解策略]圆锥曲线中若干定值求解问题初探

　　四川苍溪中学628400 　　 　　摘要：定值通常是指在一定的情境下，不随其他因素的改变而改变的量． 在圆锥曲线中，运动变化过程中的定值问题是高考中经久不衰的热点问题，也是中学数学研究的重点问题. 它体现了动与静的完美统一，且内容丰富、综合性强、难度较大． 本文总结了六种重要的思维策略.
　　关键词：定值问题；圆锥曲线；思维策略；整体不变；特例；定义；
　　
　　在圆锥曲线中，某些几何量在特定的关系结构中，不受相关变元的制约而恒定不变，则称该几何量具有定值特征. 这类问题称为定值问题. 这类问题是中学数学的重要问题，是高考命题的一个重点，它涉及面广、综合性强，不少学生常常因解题方法选择不当，而导致解答过程繁难，运算量大，甚至半途而废. 鉴于此，本文总结了几种重要的思维策略，供大家参考.
　　
　　[⇩]策略一：特值验证，一目了然
　　在求解与定值有关的选择题时，运用满足题设条件的特殊位置、特殊图形对选择支进行检验或推理，从而判断真伪.
　　例1 经过椭圆+=1的右焦点任意作弦AB，过点A作椭圆右准线的垂线AM，垂足为M，则直线BM必经过点（）
　　A. （2，0） B.
　　，0
　　C. （3，0） D.
　　，0
　　解析 当弦AB为椭圆的通径时，M4
　　，，B1，
　　-. 直线BM的方程为2x－2y－5=0，经过点
　　，0，故选B.
　　[⇩]策略二：特值探路，方向明确
　　根据特殊性与普遍性（个性与共性）的辩证关系，以特例探路，从特例中求出几何量的定值，得到启示，从而将问题化归为解几证明问题，再利用定义、焦半径公式等对一般情形进行证明.
　　例2 过抛物线y=ax2（a>0）的焦点F作直线l交抛物线于P，Q两点.
　　求证：+为定值.
　　证明 当直线l⊥y轴时，+=4a. 下面只需证明一般情形下+=4a即可. 设直线l的方程为y=kx+，代入方程y=ax2消去x并整理，得16a2y2－8a（1+2k2）y+1=0.
　　设P（x1，y1），Q（x2，y2），则有y1+y2=，y1y2=.
　　所以PF+QF=y1++y2+=，PF・QF=y1
　　+y2
　　+=y1y2+（y1＋y2）+=.
　　所以+==4a，故+是定值，定值为4a.
　　[⇩]策略三：约去参数，立竿见影
　　约去参变数，可得常数（定值），这是证题的重要依据.
　　例3 （2008浙江）已知曲线C是到点P
　　－
　　，和到直线y=－距离相等的点的轨迹，l是过点Q（－1，0）的直线，M是C上（不在l上）的动点，A，B在l上，MA⊥l，MB⊥x轴（如图1）.
　　（1）求曲线C的方程；
　　（2）求出直线l的方程，使得为常数.
　　[Q][O][x][y][M][B][A][l]
　　图1
　　解析 （1）曲线C的方程为y=（x2+x）. （过程略）
　　（2）设Mx
　　，，直线l:y=kx+k，则B（x，kx＋k），从而QB=・（x+1）.
　　如图2，在Rt△QMA中，因为QM2=（x+1）2
　　1+，
　　[Q][O][x][y][M][B][A][l]
　　图2
　　MA2=，QA2=QM2－MA2=（kx＋2）2，所以QA=. 所以=. 当k=2时，可消去x+1，得=5（常数），故所求直线l的方程为2x－y+2=0.
　　
　　[⇩]策略四：利用整体不变性，巧妙消参
　　例4 （2005全国Ⅰ）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A，B两点，+与a=（3，-1）共线.
　　（1）求椭圆的离心率；
　　（2）设M为椭圆上任意一点，且=λ+μ（λ，μ∈R），证明λ2+μ2为定值.
　　解析 （1）椭圆的离心率为e=.（过程略）
　　（2）设=（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2）.
　　设直线AB的方程为y=x－c, 代入x2+3y2=3b2，化简得4x2－6cx+3c2－3b2=0.
　　又b2=c2，所以x1+x2=c，x1x2=c2.
　　由已知得（x，y）＝λ（x1，y1）＋μ（x2，y2），所以x=λx1+μx2，
　　y=λy1+μy2.
　　因为M（x，y）在椭圆上，所以（λx1＋μx2）2+3（λy1+μy2）2=3b2.
　　即λ2（x＋3y）＋μ2（x＋3y）＋2λμ（x1x2＋3y1y2）＝3b2. （∗）
　　x1x2+3y1y2=x1x2+3（x1－c）（x2－c）=4x1x2－3（x1＋x2）c+3c2=c2－c2+3c2=0.
　　又x+3y=3b2，x+3y=3b2，代入（∗）得λ2+μ2=1. 故λ2+μ2为定值，定值为1.
　　评注无论x1，y1，x2，y2如何变化，x+3y与x+3y都整体不变, 设而不求，巧妙消参！
　　例5 （2008安徽）设椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（，1），且其焦点为F1（－，0）.
　　（1）求椭圆C的方程；
　　（2）当过点P（4，1）的动直线l与椭圆C相交于两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足
　　・
　　=
　　・
　　，证明：点Q总在某定直线上.
　　解析 （1）所求椭圆方程为+=1. （过程略）
　　（2）设点Q，A，B的坐标分别为（x，y），（x1，y1），（x2，y2）.
　　由题设知
　　均不为零，记λ==，则λ>0且λ≠1. 又A，P，B，Q四点共线，从而=－λ・，=λ. 于是4=，1=，x=，y=.
　　从而=4x ，①
　　=y.②
　　又点A，B在椭圆x2+2y2=4上，
　　即x+2y=4，③
　　x+2y=4.④
　　①＋②×2，并结合③④得4x+2y=4，即点Q（x，y）总在定直线2x+y－2=0上.
　　[⇩]策略五：利用多项式恒等，方程架桥
　　例6 如图3，抛物线y2=2px（其中4p≠9）及A（2，3），B（－2，0），M是抛物线上一动点. 设直线AM，BM与抛物线的另一个交点分别为M1，M2（M1，M2存在且不重合）. 求证：直线M1M2恒过一个定点，并求出这个定点的坐标.
　　解析 设M，M1，M2三点的坐标分别为
　　由A，M，M1三点共线，得∥.
　　所以
　　2-（y1－y0）－（3－y0）
　　所以y1=. ①
　　即y1y2=y（y1+y2）－2px.③
　　由①②③消去y1，y2得・=y
　　－2px，整理得y（2px－3y）+y0・6p（2－x）+4p（3y－4p）=0 .
　　由于此式是关于y0的恒等式，
　　所以2px－3y=0，
　　6p（2－x）=0，
　　4p（3y－4p）=0，
　　解得x=2，
　　所以动直线M1M2恒过定点2，
　　p.
　　
　　[⇩]策略六：紧扣定义，简捷明快
　　圆锥曲线的定义（第一定义和第二定义）与圆锥曲线的焦点、准线、离心率密切相关，因此凡有关焦点、准线、离心率的定值问题，紧扣定义，整体把握，往往能使解题过程简捷明快.
　　例7 （2008湖北武汉三模）已知A，B是椭圆10x2+y2=5上两动点，O为原点，定点E（1，0），向量，在向量方向上的投影分别为m，n，且・=－9mn，动点P满足=+.
　　（1）求动点P的轨迹G的方程；
　　（2）记定点C（0，－3），D（0，3），求证：无论动点Q在轨迹G上如何运动，恒为一个常数.
　　解析 （1）设P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2）. 由=+，得x=x1+x2，y=y1+y2.
　　又10x+y=5，①
　　10x+y=5.②
　　由m=x1，n=x2，・=x1x2+y1y2，
　　得10x1x2+y1y2=0.③
　　由①+②+2×③，得10（x1+x2）2+（y1+y2）2=10. 所以动点P的轨迹G的方程为10x2+y2=10.
　　（2）因为C（0，－3），D（0，3）为椭圆10x2+y2=10的两个焦点，所以
　　2=［x2+（y+3）2］+［x2+（y－3）2］=2（x2+y2）+18=2
　　2+18，
　　又・－2=x2+（y2－9）－（x2+y2）=－9，所以=－.
　　例8 （2007重庆）如图4，中心在原点O的椭圆的右焦点为F（3，0），右准线l的方程为x=12．
　　（1）求椭圆的方程；
　　（2）在椭圆上任取三个不同点P1，P2，P3，使∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP1.
　　[P2][P1][P3][O][F][x][l][y]
　　图4
　　证明：++为定值，并求此定值.
　　解析 （1）所求椭圆方程为+=1.
　　（2）如图5，记椭圆的右顶点为A，并设∠AFPi=αi（i=1，2，3）. 不失一般性，假设0≤α1 本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文