【对新课程导数几何意义的教学建议】二阶导数的几何意义

　　安徽阜阳第三中学 236006 　　 　　摘要：本文针对北师大版新课程教材中导数几何意义安排的弊端，结合教学实践，提出对教材的修改建议，即增加一节极限的定义，顺应导数定义的形式化表达，同时调整导数几何意义的表述，使得对导数几何意义的理解水到渠成、自然流畅.
　　关键词：形式化；极限；导数；导数的几何意义
　　
　　导数是微积分的核心内容之一，由于它是研究现代科学技术必不可少的工具，也是研究函数性质的有效方法，同时也是高等数学的内容之一，所以在历次教材改革中，它的变动既频繁又较大，既体现了编者对它割舍不下的情怀又充满了不知如何安排的迷茫. 本文就北师大版《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2》（以下简称“新课程教材”）中对这部分内容的安排提出教学中的困惑，并结合实践，提出对策，供大家参考.
　　与原人教版《全日制普通高级中学教科书数学选修Ⅱ》（以下简称“旧课程教材”）相比，新课程教材在教学内容、教学要求上都有很大变化，其中与本文讨论有关的是导数概念的引入，不讲极限概念，而是注重通过实际背景创设丰富的情境，不惜篇幅引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，从本质上认识和理解导数概念，在给出导数定义后，又给出了三个具体例子，加深对导数的实际意义的认识，这些都是旧课程教材所没有呈现的.
　　教材的具体安排是：§1 《变化的快慢与变化率》，用了两个实例分析和两个例题，帮助学生实现从“平均变化率”到“瞬时变化率”的质的飞跃，为导数概念的引入做好了扎实的铺垫. §2《导数的概念及其几何意义》，由于有了上一节大量生动的背景实例，至此，抽象出导数定义已是水到渠成. 在实际教学中，学生对“……在数学中，称瞬时变化率即为函数y=f（x）在x0点的导数”是欣然接受的，相对于旧课程教材，导数定义的给出无疑是成功的.
　　 新课程教材在§2中，专门安排了§2.2《导数的几何意义》，教材在描述性地给出了“曲线的切线”的定义后，紧接着就是“该切线的斜率就是函数y=f（x）在x0处的导数f ′（x0）”. 学生的困惑是：f ′（x0）不是函数y=f（x）在点x0处的瞬时变化率吗？它反映的不是割线AB在点x0处的变化快慢吗？它怎么又是y=f（x）在点x0处的切线斜率了呢？我们困惑的是：（1）本想弱化形式化的定义，降低学生理解导数的难度，但教材在导数定义后，又“通常用符号f ′（x0）表示，记作f ′（x0）==”，这里还是出现了形式化的定义了；（2）极限定义能回避得了吗？导数定义中无法回避，这是不争的事实，新课程教材在§3《计算导数》中，不仅出现了极限的符号，而且还出现了极限的运算，与其在这里让教师费尽口舌给一头雾水的学生解释半天（事实上学生仍无法理解），既偏离了主题又没有效果，不如干脆增加一节“极限的定义”.
　　安徽省是2006年秋季进入新课改的，首轮教学中我们循规蹈矩地按教材进行教学，结果学生只能是生吞活剥地记下结论，由于不理解导数的几何意义，在实际应用中，他们只能是照搬模仿，根本谈不上“灵活”二字. 在2007年开始的二轮教学中，我们对新课程教材作了大胆的尝试，收到了理想的效果，具体表现在以下两方面.
　　1. 增加一节《极限的定义》
　　在选修2-2§2《变化率与导数》的§1《变化的快慢与变化率》之前，增加一节，课题是《极限的定义》，课时为一节课，主要介绍极限符号的引入和使用，初步渗透极限思想，具体内容如下.
　　首先，通过列举实例，给出“数列极限”的描述性定义：一般地，设｛an｝是一个无穷数列，如果当n趋向于无穷大时，an无限地趋向于一个常数a，则称a是数列｛an｝的极限. 然后给出形式化的符号表示，即“当n→∞时，an→a，记作an=a”.
　　然后，将数列极限的初步认识迁移到“函数极限”，仍然通过列举实例，只介绍“当x→x0时，函数f（x）的极限”，并给出形式化的符号表示：“当x→x0时，f（x）→a，记作f（x）=a”，以实现数列极限的顺应和同化. 这里不介绍“当x→∞时，函数f（x）的极限”，也不介绍“函数的左、右极限”，以免增加学生理解上的困难，更主要的是避免冲淡主题――我们这里只是介绍极限的形式化表示和极限思想，并不涉及极限的完整定义. 事实上，在旧课程教材选修Ⅱ中，学生对“x→x0时，函数f（x）的极限”的理解要比对“函数的左、右极限”的理解容易得多.
　　最后，为了加深对极限符号的认识，我们设计了一组练习.
　　练习1 请用语言描述下列极限符号的含义（有的教师根据班级学生的情况，要求学生探究符合要求的数列｛an｝或函数f（x）的解析式）：
　　练习2 正三棱锥S-ABC的相邻两个侧面所成的二面角为α，则α的取值范围是（）.
　　2. 调整一段叙述
　　有了极限的符号表示，在§1节的例1和例2中，均可以用极限符号表示“小球在t=5 s时的瞬时速度”和“合金棒在x=2处的线密度”了，而且可以将§2.2《导数的几何意义》的叙述调整为：
　　函数y=f（x）在区间［x0，x0+Δx］上的平均变化率为，如图1所示，它是过A（x0，f（x0））和B（x0+Δx，f（x0+Δx））两点的直线的斜率，直线AB称为曲线y=f（x）在A处的一条割线.
　　[x][x1][x0][O][Δx][A][Δy][B][y=f（x）][y]
　　图1
　　如图2所示，设函数y=f（x）的图象是一条光滑的曲线，从图象上可以看出：当点B（x0+Δx，f（x0+Δx））沿着曲线逐渐向点A（x0，f（x0））靠近时，割线AB将绕着点A逐渐移动，当点B沿着曲线无限接近点A（即Δx→0）时，割线AB也无限地逼近一个极限位置――直线AC，直线AC和曲线y=f（x）在点A处给我们“相切”的感觉，于是称直线AC为曲线y=f（x）在点A处的切线.
　　[x0][x][O][A][C][B′][B][y=f（x）][y]
　　图2
　　由于割线AB和切线AC都过点A，所以割线AB无限地逼近切线AC即是kAB无限地趋近kAC. 将上述变化过程表示如下：当Δx→0时，kAB→kAC，由极限的定义，即为kAC=kAB===f ′（x0）
　　所以函数y=f（x）在x0处的导数f ′（x0）就是曲线y=f（x）在点A（x0，y0）处的切线斜率，这就是导数的几何意义.
　　1. 何谓“适度”的形式化？“数学教学不能只限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里”，“强调本质，注重适度的形式化”（新课标十大基本理念之一）无疑是十分正确的. 但形式化是数学的基本特征之一，在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求. 具体地，导数定义能离开形式化的表达吗？离开形式化的表达，只能让学生死记导数的几何意义，这与新课标理念背道而驰. 事实上，高二学生理解极限、导数的形式化表达并没有什么障碍.
　　2. 增加一节《极限的定义》，是否增加了课时？新课标实施的阵地在课堂，增加一节极限定义，是增加了一个课时，看看以高考为目的的普遍高中的课时安排吧，有几个学校的数学课时是每周四节？搞理论可以走得极端一些，但实践还是尊重客观实际的好，以我校两个年级的实际教学效果来看，增加一节极限的定义，无疑是必要的.
　　3. “新课标”要求实践于一线的广大教师，不仅是教材的执行者，还应是教材完善的参与者和建议者，教材是实现课程目标、实施课堂教学的重要资源，既然是资源，那就可以开发、利用，因此一线教师完全可以以教学实际的需要，对教材进行合理的整合.
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