一道开放题的教学与反思:透过错题反思解决问题教学

　　〔关键词〕 开放题；无究级数；悖论；合理性；主动性；问题性 　　〔中图分类号〕 G633.62 　　〔文献标识码〕 A 　　〔文章编号〕 1004―0463（2008）05（B）―0055―01
　　
　　[题目] 育红学校七年级学生步行到郊外旅行，（1）班的学生组成前队，步行速度为4千米/时，（2）班的学生组成后队，步行速度为6千米/时。前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回联络，他骑车的速度为12千米/时。根据上面的事实提出问题并尝试去解答。
　　[教学]这是一道开放型问题，在教学中我鼓励学生大胆提出问题并尝试自己去解决，然后与同伴交流自己的问题和解决问题的过程。当各教学小组汇报了自己的活动情况，我作了总结之后，有一位学生问了这样一个问题：当后队追上前队时，联络员一共走了多少个来回？我们知道，这是一个无穷级数问题。但问题提出来了，我们该怎么处理？是简单的一句话带过，还是给学生讲明白及如何才能讲明白？而此时，已到了下课时间，于是我表扬了这位用心思考问题的学生，并请学生们在课后先思考这个问题，等到下一节课时再来共同探讨。
　　这节课是结束了，但却留下了新的问题。此问题该如何解决？我陷入了深思。依据新课标的要求，我认为：首先，应遵循学生学习数学的心理规律，不能打击学生发现问题并提出问题的积极性。其次，应使提出问题的学生有一种自豪感，通过此问题进一步培养学生学习数学的兴趣和发现问题并提出问题的积极性。再次，应通过此问题让学生发现数学之美，并深深地喜欢它。于是，我这样安排了下一节课的教学内容：
　　首先，让学生讲述他们自主探究的结果。其次，给学生讲“阿里基斯追不上乌龟”的悖论：阿里基斯与乌龟赛跑，阿里基斯的速度是乌龟速度的10倍，乌龟先行100米，阿里基斯开始追赶；等到阿里基斯走过100米时，乌龟又走了10米，等到阿里基斯再走10米时，乌龟又走了1米……阿里基斯永远也追不上乌龟。这个悖论所反映的问题是：无穷多个时间段，是否是无限长的时间？再次，结合悖论，对问题进行分析，从而解决问题。最后，介绍悖论的概念、悖论在数学发展中的作用、希尔伯特的证明论及哥德尔不完备理论。
　　[反思]随后，我对此题所引发的问题进行了教学反思：
　　 1.内容安排的合理性。本节课所探讨的问题不在考试范围之列，从应试教育的角度来说，探讨这个问题是多余的，而从素质教育的角度来说，我认为是必要的，从课堂上学生的反映来说，是符合新课程改革理念的。通过对此问题的探究，不仅使学生学到了知识，开阔了视野，而且激发了他们学习数学的兴趣，初步认识了数学之美。
　　 2.学生学习方式的主动性。主动性是现代学习方式的首要特征，在学生的具体学习活动中表现为“我要学”。“我要学”是学生对学习的一种内在需要，而学习兴趣是学生学习内在需要的一个方面的表现。学生有了学习兴趣，学习过程对于他们来说就不是一种负担，而是一种享受，一种愉快的体验，学生会越学越想学、越爱学。本节课的教学，不仅使提出问题的学生有一种成就感，享受到成功的乐趣，增强了学习的信心，更使全体学生享受了数学之美，增强了学习数学的兴趣。
　　 3．学生学习方式的问题性。现代教学论研究指出，产生学习的根本原因是问题，没有问题也就难以诱发和激起学生的求知欲；没有问题，感觉不到问题的存在，学生也就不会去深入思考，那么学习也就只能是表层和形式的。本节课培养了学生的问题意识，使学生在今后的学习中敢于和善于提出问题，使问题成为生长新思想、新方法、新知识的种子。
　　 4．教学相长。新课程强调，教学是教与学的交往、互动，师生双方应相互交流、相互沟通、相互启发、相互补充，教师应与学生分享彼此的思想、经验和知识，交流彼此的情感、体验与观念，从而达到共识、共享、共进的目标，实现教学相长。通过解决本节课所要探讨的问题，我不仅对悖论的概念、悖论在数学发展中的作用、希尔伯特的证明论及哥德尔不完备理论等知识有了一次再学习、再认识的机会，而且在探究此问题的过程中，在教学观念、对新课程的理解、知识面等多方面都得到了提高。