[杨辉的数学思想及其成因的探讨] 数学思想与方法 pdf

　　【摘要】杨辉作为我国古代杰出的数学家，其数学思想思想是人类历史的宝藏。对其思想的再次解读，我们仍能获益不少。本文试图从杨辉的数学成就和数学教育思想这两个方面来对其数学思想进行介绍和分析，同时在此基础上从社会和个人角度对其成因加以理论上的探讨。
　　【关键词】杨辉 数学成就 教育思想 成因探究
　　杨辉(约1238-1298年)，字谦光，今浙江杭州人， 他是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家。其著作颇丰，主要有：《详解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷（1262年）、《乘除通变本末》三卷（1274年，第3卷与他人合编）、《田亩比类乘除算法》二卷（1275年）、《续古摘奇算法》二卷（1275年）。他的数学研究重点是在计算技术方面，他对筹算乘除捷算法进行了总结和发展。同时，他还是一位杰出的数学教育家。在《算法通变本末》中载有杨辉专门为初学者制订的“习算纲目”，它集中体现了杨辉的数学思想和方法。
　　1.杨辉的思想简介
　　1.1 杨辉的数学成就。
　　杨辉的数学思想，一方面具有“天人相应”神秘思想，一方面具有“经世致用”实用思想。杨辉的著作中记录了许多古代有价值的数学成果，总结了当时的各种数学知识，还批评了以往数学著作中的一些错误，这种作法在杨辉以前的算书中是很少见的。例如，他在《田亩比类乘除捷法》一书中便批评了《五曹算经》中的三个错误，一是在田亩计算中用方五斜七之法(即把正方形边长与对角线之比取作5∶7)，二是问题概念不清，三是四不等田求法之误。杨辉自己则着力于垛积术、捷算法、纵横图等的研究和拓展。
　　1.1.1 垛积术。
　　杨辉的 “垛积术”是继沈括“隙积术”之后，关于高阶等差级数的研究，置于《详解九章算法》的商功章。他研究了垛积与各类多面体体积的联系，由多面体体积公式导出相应的垛积术公式。
　　1.1.2 纵横图。
　　纵横图是按一定规律排列的数表，也称幻方。一般是n行n列，各行各列的数字之和相等，纵横图有几行，就称为几阶。以前人们都认为纵横图是一个充满神秘色彩的东西。杨辉通过自己孜孜不倦的努力，探索出纵横图的构成规律。他以自己的研究成果，否定了纵横图的神秘性。杨辉首先给出三阶和四阶纵横图的构造方法：“易换术曰，以十六子依次第作四行排列，先以外四角对换……后以内四角对换。”但四阶以上纵横图，杨辉只画出图形而未留下作法。但他所画的五阶、六阶乃至十阶纵横图全都准确无误，可见他已经掌握了高阶纵横图的构成规律。
　　1.1.3 换算术与素数。
　　杨辉在解决纵横图时，开始使用的特殊方法是“换易术”，在此基础上归纳出“总术”，即一般方法。这种特殊方法和一般方法的结合是杨辉数学方法上又一特色。在《算法通变本末》中记载着一种叫“重乘”的算法，即把乘数分解为若干因数之积的形式，然后用因数去乘。杨辉说：“乘位繁者，约为二段，作二次乘之，庶几位简而易乘，自可无误也。” “求一乘”和“求一除”也是换算术，是用加减代乘除，通过折、倍等方法来实现的。由于换算术的需要，杨辉注意到一个整数是合数还是素数的问题。他说：“置价钱为法，约之。先以九约，又以七约，乃见三百六十七，更不可约也。”所谓不可约，就是说除了1和本身外没有其他约数。显然，杨辉的“不可约”之数即素数。
　　1.1.4 杨辉定理。
　　在《详解九章算法》及《续古摘奇算法》中，杨辉在讨论勾股容方问题时提出一条重要的面积定理(杨辉定理):“直田之长名股，其阔名勾，于两隅角斜界一线，其名弦。弦之内外分二勾股，其一勾中容横，其一股中容直，二积之数皆同。”此定理反映了我国传统几何的一条重要原理——出入相补，在平面几何中有广泛的应用。实际上《海岛算经》中的各种测量公式都可由杨辉定理推出。
　　1.1.5 因法推类。
　　在《详解九章算法》的《纂类》中，杨辉提出“因法推类”的原则。杨辉突破了《九章算术》的分类格局，按算法的不同，将书中所有题目分为乘除、互换、合率、分率、衰分、叠积、盈不足、方程、勾股九类。每一大类中，由总的算法演绎出不同的具体方法，并给出相应的习题。如“勾股类”，共设38问，分别置于21种方法之后，而第一种方法——勾股求弦法(即“勾股各自乘，并而开方除之”)是后面各法的基础，这种顺序体现了演绎思想。
　　1.2 杨辉的数学教育思想。
　　1.2.1 主张数学教育普及的教育观。
　　杨辉十分重视数学普及工作，他的著作一般都是由浅入深的。“恐问隐而添题解，见法隐而续释注，刊大小字以明法草，僭比类题以通俗务，凡题法解白不明者，别图而验之；编乘除之数，以便入门”［1］这些主要体现在：
　　（1）教材编写充分考虑到学习者的现有发展水平及知识的内在逻辑性。
　　杨辉自己曾说：“《九章》为算经之首，辉所以尊尚此书，留意详解。或者有云，无启蒙之术，初学者病之，又以乘除加法为法，称斗尺田为问，目之曰《日用算法》。而学者粗知加减归倍之法，而不知变通之用，遂易代乘代除之术，增续新条，目之曰《乘除通变本末》。”［2］为了方便初学者的学习杨辉还编“诗括十三首”，可惜都已失传。另外，杨辉书中还有许多乘除法歌诀，也是有助于读者熟记有关算法的。例如“求一乘”诗括：五六七八九，倍之数不走，二三须当半，遇四两折扭。倍折本从法，实即反其有，用加以代乘，斯数足可守［3］。
　　（2）运用数学图形使知识直观形象化。
　　杨辉特著《日用算法》2卷，立图草64问，多次引用台州、黄岩围量田图子实例。
　　专讲日常所用数学，如“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长尺，问径几何”题，画了一个锯和一个圆圈，表示圆材的横截面。还有“今有邑，方不知大小”一题，也画了一幅图：一个正方形的“邑”，有东、西、南、北四个门，北门外有一棵树，一看就会理解题意。［4］又如有一道圆窖题：“圆窖上周三丈，下周二丈，深一丈，问积。”书中的图形很多，不仅有数学图，还有写生图，如“勾股章”的葭出水图、圆材埋壁图、方邑图等，都很精美，为《详解》增色不少。这些图在帮助读者理解题意的同时，也有利于引起读者兴趣。