加强联系,注重通法_要注重加强党内什么

　　“鸡兔同笼”问题是在我国民间广为流传的古代名题，最早出现在《孙子算经》中，本轮课程改革被选入小学数学教材。在人教版课标教材中，该问题是作为数学广角中的内容出现的。　　一直以来，人们在研究鸡兔同笼问题的过程中，形成了很多让人眼花缭乱的解法。诸如假设法、画图法、抬脚法、增头法、砍脚法、列表法、方程法、半鸡半兔法，如此等等，不一而足。客观地说，这些方法的呈现，一方面反映了人们一直以来热衷于研究这一问题，另一方面也能起到提高学生学习兴趣的作用。但冷静下来思考，这些方法当中有部分巧则巧矣，却存在如下两个致命的问题：
　　其一，这些方法来得并不自然，颇像波利亚所说的“魔术师帽子里蹦出来的兔子”。过多地给学生呈现这些方法，学生自然佩服老师，但同时也容易产生这样的想法：“学数学得能想出这么巧妙的方法才行，看来，我不是学数学的料。”
　　其二，这些方法之间缺少联系，每种方法都是独立存在的，都需要赋予一种特别的情境方能说明其算理。这些方法呈现得多了，学生容易形成对数学问题的错误认识——数学问题及其解答都像海滩上的贝壳：一个一个地、独立地并且孤立地散落在海滩上。
　　正是基于这样的认识，我们认为，在对待鸡兔同笼问题的诸多解法上，有两条尤其重要：一条叫加强联系，另一条叫注重通法。
　　所谓“加强联系”，即是要让学生注意到各种方法之间不是孤立的。人教版课标教材数学广角中的鸡兔同笼问题如下图所示。
　　我们以小学数学处理鸡兔同笼问题常见的几种方法——列表法、假设法和方程法为例进行具体说明。
　　列表法是最容易想到的方法，按教材上的说法，就是“按顺序列表试一试”。
　　我们考虑列表的过程：鸡8只，兔0只，通过计算，脚是16只，不符合题目意思，继续往下列表：鸡7只，兔1只，通过计算，脚是18只，还是不符合题目意思。所谓不符合题目意思，就是脚的只数不是26，但通过比较两次列表的数据，可以发现第二次列表的数据中，脚的只数（18）更接近题目的要求（26），这就告诉我们，按这个方向继续调整，一定可以找到正确答案。这即是列表法。
　　如果我们希望调整的幅度大一点，让正确答案来得更快一点，甚至，我们可以考虑能否一步调整到位？通过观察上表我们知道，鸡8只，兔0只，脚是16只，离我们希望的脚的数目还差26－16＝10（只）。若一次次调整，需要调整几次呢？通过观察表格我们发现，每调整一次，脚就增加2只（这个不难想清楚：所谓调整一次，在这里，就是减少1只鸡，增加1只兔，脚自然增加2只），于是不难知道，需要调整的次数为10÷2＝5，即鸡要减少5只，兔要增加5只。把这个过程稍稍整理，即得到所谓的假设法。
　　我们再回头看我们的列表过程。其实我们在做一件这样的事：写出鸡的只数，比如8，然后算出兔的只数，比如8－8＝0，然后算脚的只数，看是不是26。把这个过程一般化，就是先猜测鸡的只数，比如用□表示，然后再计算兔的只数，在这里应该是8－□，最后计算脚的只数，这里应该是：2×□＋4×（8－□）。
　　我们就是在看这个结果是否等于26，如果等于26，我们猜测的鸡的只数就是对的。换句话来说，我们是想在算式2×□＋4×（8－□）中填上一个适当的数，使得2×□＋4×（8－□）＝26，这就是所谓的方程法。
　　以上讨论，以列表这样一个自然的方法为基础，把假设法、方程法等方法联系在一起，即是我们所说的“加强联系”。
　　现在来讨论“注重通法”。
　　所谓“通法”，是指具有某种规律性和普遍意义的常规方法。在数学教学中，也被称之为“大巧”，是与一些奇思妙想的、应用范围狭窄甚至仅限此一例的所谓“小巧”相对应的。我们在数学教学中，从面向全体学生的角度出发，应该强调“大巧”而淡化“小巧”。
　　上述诸多解法中，列表法、方程法均是通法、是“大巧”，具有最广泛的适用性。而抬脚法、增头法、砍脚法、半鸡半兔法，都只能属于“小巧”，仅仅限于解决鸡兔这一有着特殊数量关系的问题。尤其值得说明的是，这些看似十分巧妙的办法，很可能是有人通过对通法的解题过程的分析，增加适当的情境而得到的。
　　以所谓半鸡半兔法为例：把鸡和兔都劈开，考虑一半，则有这样的“半鸡”和“半兔”共8只（注意，我们只考虑一半，因此还是8只“半鸡”和“半兔”），此时，脚是26÷2＝13（只），“半鸡”上有一只脚，“半兔”上有两只脚，所以，从脚的只数比“半鸡”和“半兔”只数多13－8＝5（只），不难知道，“半兔”的只数就是5，从而有5只兔。这事实上可以理解为将以下解方程组的过程赋予情境的意义：
　　设鸡有x只，兔有y只，则有
　　x+y=8 ……（1）2x+4y=26 ……（2）
　　要解上述方程组，我们可以将（2）÷2－（1），即可求得y的值，读者只要稍加琢磨，就不难发现，这一解方程组的过程，即是上述“半鸡半兔法”。而若用（2）－（1）×2的方式求出y的值，则又可演绎出所谓“去脚法”：假如将8只动物中的每一只动物都去掉2只脚，则共去掉2×8=16（只）脚，还剩26－16=10（只）脚。这时鸡没有脚了，每只兔还剩2只脚，说明这剩下的10只脚都是兔的，兔有10÷2=5（只），鸡有8－5=3（只）。
　　总之，加强联系、注重通法，是我们在处理鸡兔同笼问题的教学时所需要特别注意的。
　　（作者单位：长沙市岳麓区谷峰小学）