【判定直线划分平面区域符号的简便方法及其应用】 直线在平面上的符号

判定直线划分平面区域符号的简便方法及其应用

泸州外国语学校 陈培泽

当A>0 时， 除去直线上的点，直线Ax+By+C=0把平面分成两个部分，右正，左负；上正，下负。现给予证明，当P(x1,y1)在直线右边时，直线Ax+By+C=0上存在点M(x2,y1),，且x1>x2,∵Ax2+By1+C=0∴x2=-By1／A-C ／A ∴x1-x2=x1+ By1／A+C/A, ∴A(x1-x2)=Ax1+By1+C,∵A>0, x1-x2>0, ∴Ax1+By1+C>0.同理可证，当P(x1,y1)在直线左边时，有Ax1+By1+C＜0，

特别当直线为x-a=0时，点P(x1,y1) 在x-a=0左边，所以有x1-a0。当直线为y-b=0时，点P(x1,y1) 在y-b=0上方，则有y1-b>0; 点P(x1,y1) 在y-b=0下方，有y1-b ＜0。 综上，判断直线划分平面区域符号只需：注意当A>0 时， 除去直线上的点，直线Ax+By+C=0把平面分成两个部分，右正，左负；上正，下负。

下面举例说明其运用：

例1. 已知平面上的点（x,y ）满足:x-y-2≥0，x+2y-4 ≥0,x ≤ 4,求z=x-y

的最小值。答案2.

例2. 直线L:x-2ky+k-1=0过一，二，三象限，求k 的取值范围。 解：∵直线L:x-2ky+k-1=0过一，二，三象限，∴原点在直线右方，∴k-1>0, ∴k>1.

例3. 以A(1,2),B(-2,-1)为端点的线段总与直线L:x-2ky+k-1=0相交，求k 的取值范围。

解：当A(1,2),B(-2,-1)两点在直线L:x-2ky+k-1=0两侧时总有直线与线段AB 相交，∴-3k(-3+3k) ≤ 0,解得：k ∈(-∝.0] ∪[1,+ ∝) 。 我们知道点P (x 0, y 0) 到直线L: Ax+By+C=0

的距离公式是，d , 运用前边的结论， A>0时，当P (x 0, y 0) 在直线L ；

d =Ax+By+C=0的右边时

，

Ax+By+C=0

的左边时，d =；当P (x 0, y 0) 在直线L: 。

例4. 已知△ABC 三顶点坐标是

A(

，3), 求：∠A, ∠B 平分线所在的直线方程，及△ABC 的内心。

解：∵BC

+y -3=0，AC

-y +3=0, AB 直线方程为：y=0,设P(x,y)是∠A, ∠B 平分线上任意一点，P 点在BC 直线左侧，在AB

上方，∴有-+y -3=

y ，化简得；2

， P 点在AC 直线右侧，在AB

上方，∴有x =0 （1）

-y +3，由（1）（2）解方程组，=y ，

化简得：x 0 （2）2

得△ABC 内心坐标M(0，1).

例5.P 是抛物线y =x 2上的点，求P 点到直线l:x-y-2=0距离的最小值及P 点坐标。

解：设P （x, 12x ）, ∵P 212点在直线l 左侧，

∴

1x -x 2-21y ==x -1) 2+3]≥，∴当P(1) 时，到直线l:x-y-2=02

距离的最小值为。 4

运用直线划分平面区域符号简便方法，可以去掉点到直线距离公式中的绝对值符号的讨论，提高解题效率。

在解一元一次绝对值不等式时，运用“左负，右正”（即，数轴法）也能提高解题效率。

例6. 解不等式 |x -1+|x |+>2|.

解：令x-1=0；x+2=0,得：x=1；x=-2 当x3,解得：x3,解为Φ；当x>1时，（右正）两个绝对值中的函数值都为正，有：2x+1>3, 解得：x>1, 所以解是:{x| x1}.

“简便方法”具有运用广泛，容易掌握的特点。