[近世代数论文]近世代数论文题目

欧氏环的研究

摘 要 欧氏环在不同书中常有不同的定义方法, 本文给出了几种欧氏环的定义, 证明了欧氏环中最大公因式的存在性, 并且导出了其类似于整数的最大公因数的性质.

关键词 欧氏环; 主理想; 唯一分解环; 相伴元; 单位

中图分类号 O153

1 基本定义与引理

设I 是一个环, I *表示I 的全体非零元素作成的集合, 用N 表示全体非负整数作成的集合.

定义1[1] 设I 是一个有单位元且无零因子的环. 如果

(1) 有一个I 到N 的映射ϕ;

(2) 对I 中任意元素b 及a ≠0, 有元素q , r ∈R , 使

b =aq +r , ϕ(r )

则称I 是一个对映射ϕ来说的B 欧氏环. 只要存在这样一个映射, 就说I 是B 欧氏环.

定义2[2] 设I 是一个有单位元、可换且无零因子的环. 如果

(1) 有一个I *到N 的映射ϕ;

(2) 对I 中任意元素b 及a ≠0, 有元素q , r ∈R , 使

b =aq +r , r =0或ϕ(r )

则称I 是一个对映射ϕ来说的C 欧氏环. 只要存在这样一个映射, 就说I 是C 欧氏环.

定义3[3] 设I 是一个有单位元且无零因子的可换环. 如果

(1) 有一个I *到N 的映射ϕ;

(2) 对I 中任意元素b 及a ≠0, 有元素q , r ∈R , 使

b =aq +r , r =0或ϕ(r )

(3)对I 中任意非零元素a , b 都有

ϕ(ab )>ϕ(b ),

则称I 是一个对映射ϕ来说的V 欧氏环. 只要存在这样一个映射, 就说I 是V 欧氏环.

定义4[4] 设I 是一个有单位元且无零因子的可换环. 如果

(1) 有一个I 到N 的映射ϕ, 而且ϕ(b )=0, 当且仅当如果b =0;

(2) 对I 中任意元素b 及a ≠0, 有元素q , r ∈R , 使

b =aq +r , ϕ(r )

(3)对I 中任意非零元素a , b 都有

ϕ(ab )>ϕ(a )ϕ(b );

则称I 是一个对映射ϕ来说的A 欧氏环. 只要存在这样一个映射, 就说I 是A 欧氏环.

定义5[5] 设I 是整环, 若

(1) 存在一个由I =I \{0}到非负整数集N ⋃{0}的映射ϕ; *

(2) ∀a ∈I , b ∈I , ∃q , r ∈I , 使

b =aq +r , r =0或ϕ(r )

则称I 是一个欧氏环.

定义6[2] 一个整环I 叫做欧氏环, 假如 l :

(1) 从I *到非负整数集合N 的映射ϕ存在;

(2) ∀b ∈I 都有q , r ∈I , 使得b =aq +r , 其中r =0或ϕ(r )

引理1 设I 是一个欧氏环, 如果∃a ∈I , 使得ϕ(a )=0, 那么a 整除I 的每一个元.

证明 因为∃a ∈I , 使得ϕ(a )=0. 取b ∈I , 若b =0; 则 a |b ; 若b ≠0, 则由定义6可知, ∃q , r ∈I , 使得b =aq +r , 其中r =0或ϕ(r )

元.

推论1 若I 是一个欧氏环, 并且a 是使ϕ(a )=0的I 的一元, 那么*

I ={aq |q ∈I }.

推论2 若I 是一个欧氏环, 并且a 是使ϕ(a )=0的I 的一元, 那么a 是I 的可逆元(单位).

证明 由推论1知 I ={aq |q ∈I }. 因为1∈I , 所以∃q ∈I 使得aq =1, 即a 是可逆的.

引理2 设I 是欧氏环, 如果I 中有b =aq +r , 那么(a , b )=(a , r ).

证明 设a 与b 的一个最大公因式为d , 记为(a , b )~d . 因为d |a , b ⇒

d |b -aq =r , 所以d |a , r ; 另一方面, 对∀c |a , r ⇒c |aq +r =b , 即c |a , b , 因为d 是a *与b 的一个最大公因式, 所以c |d 这样d 也是(a , r )的一个值, 即(a , r )~d 从而(a , b )=(a , r ).

2 主要结论

定理1[3] 设I 是一个欧氏环, 那么对∀a , b ∈I 来说, 存在a 与b 的最大公因式(a , b ), 并且∃u , v ∈I 使得au +bv ~(a , b ).

证明 若a , b ∈I 有一个为0, 不妨假定a , b ∈I 那么a 是a 与b 的一个最大公因式, 即(a , b )~a . 若a , b ∈I 都不为0, 由欧氏环的定义5知, ∃q 1, r 1∈I 使得a =bq 1+r 1则有下列诸等式:

若r 1≠0, 则∃q 2, r 2∈I , 使得b =rq 12+r 2;

若r 2≠0, 则∃q 3, r 3∈I , 使得r 1=r 2q 3+r 3;

若r 3≠0, 则同样可以继续考虑,

r s -3=r s -2q s -1+r s -1;

r s -2=r s -1q s +r s .

这个过程称之为辗转相除法. 在此过程中一定存在r s =0, 否则任何r s ≠0, 这时得到以下不等式链:ϕ(b )>ϕ(r 1)>ϕ(r 2)> >ϕ(r s )> , 其中ϕ(b )是一个有限正整数, 有∃r n ∈I 使得ϕ(r n )=0, 由引理1得知r n 整除I 的每一元, 所以r n |r n -1, 从而 r n +1=0, 与任何r s =0矛盾. 于是辗转相除法过程中有一等式r s -2=r s -1q s +r s 中r s =0, 有(r s -2, r s -1)=(r s -1, r s )~r s -1. 再由引理2, (r s -2, r s -1)=(r s -3, r s -2)= =(r 2, r 1) =(a , b ), 有(a , b )~r s -1即r s -1是a 与b 的一个最大公因式, 这样就证明了在欧氏环中最大公因式的存在性.

r s -1=r s -3-r s -2q s -1

=r s -3-(r s -4-r s -3q s -2)q s -1

=(1+q s -1q s -2)(r s -5-r s -4q s -3)-r s -4q s -1

=(-q s -1-q s -3-q s -1q s -2q s -3)r s -4+(1+q s -1q s -2)r s -5

=au -bv

即最后可以消去所有r s , 所以(a , b )~r s -1=au +bv .

推论3 a , b 是欧氏环I 的两元, 那么(a , b )~1⇔∃u , v ∈I 使得au +bv ~1. 证明 先证充分性可由定理1直接得出.

再证必要性. 设∃u , v ∈I 使得au +bv ~1因为对∀c |a , b ⇒c |au +bv , 所以 (a , b )~1.

定理2[6] 若欧氏环I 中(a , b )~1, 则对∀c ∈I , 都有(a , bc )=(a , c ).

证明 因为(a , b )~1, 所以1是a , b 的最大公因式. 所以∃u , v ∈I 使得

au +bv =1对∀c ∈I 都有c =a (cu )+(bc )v , 由此可知a , bc 与a , c 相同公因式, 从而(a , bc )=(a , c ).

推论4 在欧氏环I 中若(a , b )~1, 则(a n , b m )~1, ∀n , m ∈N *.

⎛⎫⋅b b 证明 因为(a , b )~1, 且(a , b m )= a , b ⎪由定理2可知,

m ⎝⎭

⎛⎫m a , b ⋅b b = =a , b ~1⇒()()~1. a , b ⎪

m -1⎝⎭

同理可得(a n , b m )=(b m , a n )=(b m , a n -1)=(b m , a n -2)= (b m , a )~1.

推论5 欧氏环中若(a i , b j )~1(i =1, 2, , n ; j =1, 2 , m ), 那么

(a 1a 2 a n , bb 12 b m )~1.

证明 由定理2得(a i , bb 12 b m )=(a i , b 2b 3 b m )= (a i , b m )~1即

,2, n ). (a i , bb 12 b m )~1, (i =1

同样可得

(a 1a 2 a n , bb 12 b m )=(bb 12 b m , a 1a 2 a n )

⇔(bb 12 b m , a 2a 3 a n )= =(bb 12 b m , a n )~1.

3 应用举例

例1[5] 证明：Gauss 整数环Z [i ]={m +ni |m , n ∈Z }是一个欧氏环.

证明 显然Z [i ]是复数域C 的一个子环, 且1∈Z [i ], 于是Z [i ]是一个整环. 令

ϕ:Z [i ]→N ⋃{0},

a a , 2*

其中a 是a 的模, 则ϕ是一个Z [i ]到N ⋃{0}的映射.

下面证明：∀a ∈Z [i ], b ∈Z [i ], ∃q , r ∈Z [i ], 使

b =aq +r , r =0或ϕ(r )

设a -1b =u +vi , 其中u , v ∈Q . 现取u ", v "分别是与u , v 最接近的整数, 令

k =u -u ", h =v -v ", 则

11k =u -u "≤, h =v -v "≤, 22

于是

b =a (u +vi )

=a ⎡⎣(u "+k )+(v "+h )i ⎤⎦

=a (u "+v "i )+a (k +hi )

=aq +r ,

其中q =u "+v "i ∈Z [i ], r =a (k +hi ). 因为r =b -aq , 所以r ∈Z [i ]. 若r ≠0, 则

ϕ(r )=r =a k +hi =a

22222(k 2+h 2) ⎛11⎫1≤a +⎪=ϕ(a )

因此, Z [i ]是欧氏环.

例2[5] 设整环I 中任意两个元的最大公因子都存在, a 1, a 2, , a m 是I 中m 个不全为零的元, 若a 1=db 1, a 2=db 2, , a m =db m , 证明：d 是a 1, a 2, , a m 的最大公因

子⇔b 1, b 2, , b m 互素.

证明 若d 是a 1, a 2, , a m 的最大公因子, 由a 1=db 1, a 2=db 2, , a m =db m 及a 1, a 2, , a m 是I 中m 个不全为零的元可得d ≠0. 现设c 是b 1, b 2, , b m 的一个公因子, 则cd 是a 1, a 2, , a m 的公因子, 从而cd |d , 于是c |1, 即c 是单位. 因此b 1, b 2, , b m 互素.

反之, 令d 1是a 1, a 2, , a m 的最大公因子, 则a 1=db 1, a 2=db 2, , a m =db m . 又因为d 是a 1, a 2, , a m 的最大公因子, 所以d |d 1, 即d 1=dh , 于是a i =d 1p i =dhp i (i =1,2， , m ). 又由a i =d 1b i 可得db i =dhp i . 而d ≠0, 于是b i =hp i , 即h 是b 1, b 2, , b m 的一个公因子. 因为b 1, b 2, , b m 互素, 所以h 是一个单位, 于是d ~d i , 因此d 也是a 1, a 2, , a m 的最大公因子.

4 总结

总之, 一个欧氏环中既可以明确地看到最大公因式的存在性, 又可以给出具体求法, 另外欧氏环中讨论问题比较方便, 其很有实用性的特殊主理想环, 又是一个唯一分解环.

参 考 文 献

[1] N.Jaeobson.Basie Algepa.W.H.Freeman and Company,1974.

[2] 张禾瑞. 近世代数基础[M].北京:高等教育出版社,1978.

[3] 吴品三. 近世代数[M].北京:高等教育出版社,1980.

[4] N.Jaeobson.Lectures in Abstraet Algepa.V.1.1951.

[5] 朱平天, 李伯葓, 邹园. 近视代数[M].北京:第二版. 科学出版社.

[6] 李冰. 关于欧氏环定义中单位元的讨论[J].唐山师专学报,1993,21