矩阵相似的性质:矩阵相似例题

1 矩阵的相似

1.1 定义 1.2性质 1.3定理（证明） 1.4 相似矩阵与若尔当标准形 2 相似的条件

3 相似矩阵的应用（相似矩阵与特征矩阵 相似矩阵与矩阵的对角化 相似矩阵在微分方程中的应用 【1 】）

矩阵的相似及其应用 1.1 矩阵的相似

定义1.1：设A,B为数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X，使得BX1AX，就说A相似于B记作A∽B 1.2 相似的性质

（1）反身性A∽A：；这是因为AE1AE.

（2）对称性：如果A∽B，那么B∽A；如果A∽B,那么有X，使BX1AX，令YX1，就有AXBX1Y1BY，所以B∽A。

（3）传递性：如果A∽B，B∽C，那么A∽C。已知有X,Y使BX1AX，

CY1BY。令ZXY，就有CY1X1AXYZ1AZ，因此，A∽C。

1.3 相似矩阵的性质 若A,BCnn，A∽B，则： （1）r(A)r(B)；

Q是nn可逆矩阵，引理：A是一个sn矩阵，如果P是一个ss可逆矩阵，那么秩（A）

=秩（PA）=秩（AQ）

证明：设A,B相似，即存在数域P上的可逆矩阵C，使得BC1AC,由引理2可知，秩

1

（B）=秩（BCAC）=秩（AC）=秩（A）

（2）设A相似于B，f(x)是任意多项式，则f(A)相似于f(B)，即

P1APBP1f(A)Pf(B)

证明：设f(x)anxan1x

nn

n1



a1xa0 a1Aa0E a1Ba0E

于是，f(A)anAnan1An1 f(B)anBan1B

n1

kk

由于A相似于B，则A相似与B，（k为任意正整数），即存在可逆矩阵X,使得

BkX1AkX，

11

anAnan1An1因此 XfAXX

a1Aa0EX

anX1AnXan1X1An1X anBnan1Bn1 f(B) 所以f(A)相似于f(B)。

a1X1AXa0E

a1Ba0E

（3）相似矩阵有相同的行列式，即AB,trAtrB；

证明：设A与B相似，即存在数域P上的可逆矩阵C，使得BC1AC，两边取行列式

11

ACAC1CA，从而相似矩阵有相同的行列式。 得：BCACC

又由性质（2）知，A与B有相同的特征多项式，因而有相同的特征值1,2,

A的迹trA12

矩阵有相同的迹

,n，而

n，B的迹trB12n，从而trAtrB，即相似

（4）A与B有相同的Jordan标准形； （5）相似矩阵同时可逆或同时不可逆。

证明：设A与B相似，由性质2可知AB，若A可逆，即A0，从而B0，故B

可逆；若A不可逆，即A=0，从而B=0,故B不可逆。 （6）若

1

证明：A与B相似，即存在可逆矩阵P,使得BPAP,C与D相似，即存在可逆矩阵Q,

A与B相似，B与D相似，则

A0B0

与相似。

0C0D

B0P10A0P0

使得DQCQ，由于= 10D0C0Q0Q

1

P0A0P0 =

0Q0C0Q

1

P0A0B0

显然与相似。 是可逆矩阵。由此可见，则

0C0D0Q

定理1.1：线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵。

证明：先证前一部分。设线性空间V中线性变换A 在两组基：

1,2,,n （1） 1,2,.,n（2）

下的矩阵分别为A和B,从基⑴到基⑵的过渡矩阵为X，则：

(A1,A2,(A1,A2,(1,2,

于

是

,An)(1,2,.,n)A， ,An)(1,2,

,n)B

,n)(1,2,.,n)X

(A1,A2,,An)A(1,2,,n)A[(1,2,.,n)X]

(A1,A2,,An)X (1,2,

1

,.n)AX (1,2,.,n)X1AX

由此可得 BXAX

现在证后一部分。设n级矩阵A和B相似，那么它们可以 看作是n维线性空间V中一个线性变换 在基1,2,.的矩阵。因为BX1AX，令：

,n下

(1,2,,n)(1,2,,.n)X,显然，1,2,n 也是一组基，A在这组基下的

矩阵

就是B。

1

例一：证明

1,2,

2

i1与n



i2





相似，其中 i,i,

12

in

,in

是

,n的一个排列。

证明：设：

A(1,2,n)(1,2,

1

n)

2

n

，则

A(1,

2

n,,)1

i1

(n2



,

i2

,

1，,.因为)in

2



和n

i1



i2



是线性变换A在不同基下的矩阵，故它们相似。 in

定理2.1：设A,B是数域P上的两个n级矩阵，A与B相似的充要条件是它们的特征矩阵

EA和EB等价。

bcacab



例一：设a,b,c是实数，Acab，Babc,证明A与B相似。

abcbca

证明：

aabcbbcca



EAcabcabbca

aabcbcabcbca



abcEB bca

故EA和EB等价，从而A∽B

3，矩阵相似的应用 3.1相似矩阵与特征矩阵

定义3.1.1：把矩阵A（或线性变换A ）的每个次数大于零的不变因子分解成互相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵A（或线性变换A ）的初等因子。

定理3.1.1：数域F上的方阵A与B相似的充要条件是EA和EB有相同的列式因子。

定理3.1.2：两个同级复数矩阵相似充要条件是它们有相同的初等因子。

例1：证明：任何方阵A与其转置方阵A 相似。

证明：因为EA与EA 互为转置矩阵，它们对应k阶子式互为转置行列式，故相等。从而两者有完全相同的各阶行列式因子，于是两者有完全相同的不变因子。故EA与EA 等价，从而A与A 相似。

例2：证明：相似方阵有相同的最小的多项式。

证法一：设A与B相似，即可存在可逆矩阵Q，使BQ1AQ，又设A与B的最小

多项式分别为g1,g2，于是：g1Bg2Q1AQQ1g1AQ0,但是，

B的最小多项式整除任何以B为根的多项式，故g1g2

证法二：设A与B相似，则EA和EB等价，从而有完全相同的不变因子，但最后一个不变因子就是最小多项式，故A与B有相同的最小的多项式。

4 相似矩阵与矩阵的对角化

矩阵的对角化问题的解法及其应用都有其明显特色，因而线性代数中通常被单独处理，尽管矩阵相似是完全独立的另一概念，但是却与对角化问题有重要的关联。

定义3.1.2：数域F上方阵A，如果与一个F上的对角方阵相似，则称A在F上可对角化。

定理3.2.3：复数矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A的初等因子全是一次的。

定理3.2.4：复数矩阵A与对角阵相似的充分必要条件是A的不变因子都没有重根。

定理3.2.5：复数域上方阵A与一个对角矩阵相似的充分必要条件是A的最小多项式没有重根。

定理3.2.6：设A是n阶方阵，则以下条件是等价的：（1）A相似于对角矩阵；（2）属于A的不同特征值的特征向量线性无关；（3）A有n个线性无关的特征向量；（4）A的每一特征值的代数重数都等于它的几何重数。

例4：设复矩阵A的最小多项式f2k1，证明：A与对角阵相似。

证明：f,f2k1,2k2k11 ，即A的最小多项式无重根，所以A的初等因子都是一次的，所以A相似于对角阵。

例5：设A为n阶方阵，fE 是A的特征多项式，并令：

G

f

f,f，证明：A与一个对角矩阵相似的充分必要条件是

gA0。

证明：设fEA1

n1

2

n2

r

n

，其中1,2,...r

互不相等，且n1n2

nrn，则：g12r。如果A

与一个对角矩阵相似，则EA的初等因子都是一次的，其中全部不同的初等因子是1,2,

,r ，它们的乘积就是EA最后一个不变因子

但dn 就 是EArg。

亦即dn12dn，

的 最 小 多 项 式 ， 所 以gAdnA0。反之，若gA0，则A的最小多项式dn整除g，因而dn没有重根，故A与对角矩阵相似。

131



例7：设A210 ，试证明：

311

（1）A在复数域上可对角化；（2）A在有理数域上不可对角化。

证明：⑴fEA332128 ,f32612,

用辗转相除法可证得f,f1，故在复数域上A相似于对角矩阵。

（2）若A在有理数域上可对角化，那么A的特征值必须都是有理数，从而f有有理根，而f的首项系数为1，从而f的有理根必为整数根。由于f的常数项为-8，如果f有整数根必为1,2,4,8，用综合除法验算它们都不是f的根，因此f无有理根，从而得证A在有理数域上不可对角化。

注：两个矩阵是否相似同数域的大小无关，但是，一个矩阵是否可对角化

01

（即与一个对角矩阵相似）却同数域的大小有关，例如，二阶方阵A在

10实数域上不可对角化，但在复数域上却可以对角化，因为此时它与对角矩阵

i0111B ，即有PAPB。  相似，事实上，取P

ii0i