利用对称性解题 对称性在数学解题中的应用

　　[摘要]在数学领域,对称性问题很多,重视对称性的研究,不仅增强解题技巧,而且对数学的发展也是十分有益的。本文主要介绍对称性在解题中的应用,分为三个部分:第一部分介绍对称性在几何中的应用;第二部分介绍对称性在积分中的应用;第三部分介绍对称性在方程中的应用。
　　[关键词]对称性 几何 积分 方程
　　
　　数学是研究美的科学,几何是数学中对美的研究尤其突出的,对称是数学中完美性最突出的,生活中的对称是美的表现,宇宙中有许许多多具有某种对称性东西,它必然反映到研究物质空间形式和数量关系的数学中来。数学的许多研究对象、研究手段都与对称性有关,大量的公式及定理的形式也具有赏心悦目的对称美。因此,如果能在分析问题、处理问题时有意识地利用事物的对称性,并使人们的思维过程与之相适应,不但可以更好的把握事物的本质,还可以使思维和推理过程更简洁,更快地打开思路,并能快捷地解决问题。
　　在几何、积分、方程中,许多问题的解决都采用了对称性原理。下面,以三种类型题为例,初步讨论对称性在数学解题中的应用。
　　几何中的对称主要是轴对称和中心对称。轴对称:任一对对应点的连线段被对称轴垂直平分;中心对称:任一对对应点的连线段过对称中心,且被中心平分,
　　几何中的对称性是极为普遍的,并有相对的固定规律。
　　一、对称性在几何中的应用
　　在几何方面,对称性较为直观,通过画出几何图形就能容易地发现具有对称性的对象。球、圆、双曲线、抛物线等的对称性是很直观的,利用它们的对称性可以解决许多几何问题。
　　
　　图1
　　1.解决平面几何问题
　　例1.证明等腰三角形的两底角相等。
　　分析:此题的常规证法是通过作等腰三角形底边上的高而得到两个全等的三角形,从而由对应角相等来证明命题成立。若我们能发现△ABC与△ACB的对称性就能够更简单地证明。
　　证明:如图1所示,在△ABC与△ACB,因为∠A=∠A,AB=AC,AC=AB.所以△ABC≌△ACB.因此∠B=∠C。
　　当然,此题用常规思维,通过作底边上的高同样比较容易证到所要证的结论。但利用对称性来证明是一种很好的证明方法,更加简单,能够培养人的发散思维。
　　2.解决解析几何问题
　　
　　
　　此题的关键是挖掘直线x=2是y=f(x)的图像的对称轴的隐含条件,在此可以体会到对称性的重要作用。
　　二、对称性在积分中的应用
　　
　　以上各种类型的积分,都是利用对称性来解题,充分体现了数学分析的对称美,其中包括公式的对称、符号的对称、运算的对称,达到事半功倍的效果,更有利于人们开拓视野,发现新知。
　　三、对称性在方程中的应用
　　中国古代数学在方程方面创造了辉煌的业绩。中国古代的方程就是现代的线性方程组,方程术就是线性方程组的解法,在方程的计算中,应用了对称方法。首先,方程的列法必须掌握各数量关系的平衡、和谐。才能够准确地为实际问题建立模型。其次,解方程也是利用对称性的,开始我们是利用等式的基本性质来解方程,后来我们利用等式的基本性质推出移项法则,利用它来解,但是我们还是利用了对称性。
　　例3.同学们乘坐公共汽车去参观,出发半小时后,小明乘高速客车追赶,问多少时间追上?公共汽车速度:60km/h高速客车:80km/h。
　　分析:这是一道初中的数学问题,也是常见的物理现象,我们根据题意可以很快列出方程。由题意知这是相对速度问题或者为等距离问题:
　　(1)等距离思路
　　解:设经过x小时追上,则经过x小时后,公车行驶时间为,距离为0.5+x;高速客车行驶时间为60(0.5+x),距离为x.两者从同一地点出发,追上时肯定行驶距离相等。
　　60(0.5+x)=80x
　　x=1.5(小时)
　　(2)相对速度思路
　　公车早出发半个小时,也就是说,在小明开始出发时,公车已经行驶60×0.5=30km了,这距离也就是两者相比多出来的。但是小明的车快啊,所以这部分多出来的距离必须靠速度的差距来弥补。他们的速度差距是多少?就是了,用这个速度80-60=20km/h,行驶x小时后赶上,方程式不是很简单吗?
　　(80-60)x=60×0.5
　　结果还是1.5小时.
　　无论用那种方法列方程,都体现了对称思想,解的过程也一样。
　　通过以上运用对称性解答题目,可知解题的简洁和快捷。
　　参考文献:
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