同余方程【关于同余方程　ＸＰ＋ＹＰ＋ＺＰ≡０（ｍｏｄＰ２）的整数解】

　　[摘要]设P为素数,利用初等数论方法研究了三元同余不定方程X�P+Y�P+Z�P≡0(modP�2)的整数解问题;证明了同余方程X�3+Y�3+Z�3≡0(mod9),X�5+Y�3+Z�5≡0(mod25),X��11
　　+Y��11
　　+Z��11
　　≡0(mod11�2),X��17
　　+Y��17
　　+Z��17
　　≡0(mod17�2)均无整数解,并证明了同余方程X�7+Y�7≡Z�7(mod7�2)仅有解;1�7+2�7≡3�7(mod7�2);X��13
　　+Y��13
　　≡Z��13
　　(mod13�2)仅有解1��13
　　+2��13
　　≡4��13
　　(mod13�2)和2��13
　　+5��13
　　+6��13
　　≡0(mod13�2);X��19
　　+Y��19
　　+Z��19
　　≡0(mod19�2)仅有解1��19
　　+7��19
　　≡8��19
　　(mod19�2),2��19
　　+3��19
　　≡5��19
　　(mod19�2),4��19
　　+6��19
　　+9��19
　　≡0(mod19�2).
　　[关键词]费尔马大定理 同余方程 整数解 丢番图方程
　　1 从费尔马猜想谈起
　　1637年,费尔马在《算术》第二卷第八命题――“将一个平方数分为两个平方数之和”的旁边写道:“另一方面,不可能有一个数的立方表成另外两个立方数之和,一个数的四次方表成另外两个四次方数之和。一般来说,不可能有一个更高的方幂表成另外两个相应的方幂之和。我对此命题给了一个真正的非常奇妙的证明,只是此处的空白太小了写不下。”这就是著名的费尔马猜想,可以表示如下形式。
　　不存在整数X,Y,Z和n,其中n>2, XYZ≠0,使得
　　
　　X�n+Y�n=Z�n(1)
　　对于这个猜想,1676年卡卡维证明了n=4时成立,即丢番图方程
　　X�4+Y�4=Z�4(2)
　　无整数解。
　　又因为任何一个大于2的正整数如果不被4整除,就一定被某一个奇素数整除。因此除了证n=4成立外,还需证n是任一个奇素数P时费尔马猜想成立,那么对任何的正整数n费尔马猜想就成立,即只需证明当P为≥3的素数,即丢番图方程(3)无正整数解:
　　X�P+Y�P=Z�P(3)
　　1770年,欧拉证明了n=3时无整数解。1825年,德国数学家狄利克雷证明了n=5时无整数解;同年,法国数学家勒让德也证明了n=5时无整数解。1839年,法国数学家拉梅证明了n=7的情形。1847年,麦库证明了P 本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文