一道试题的解法探究及引申|一道竞赛试题的解法探究与拓展
摘要：在数学教学与复习中,如果能重视对课本中的习题、各地的高考试题及月考试题进行一题多解、一题多变、引申推广，那么常可获得形式新颖、综合性强并具有探索性的问题，进而能有效地训练学生思维的灵活性和深刻性，提高学生的探究能力和创新意识.
关键词：试题；解法探究；引申
《普通高中数学课程标准（实验）》在课程基本理念中，“倡导积极主动、勇于探索的学习方式”“力求通过多种形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识”. 新课改要求我们改变旧的课堂教学模式，取而代之的是探究式的教学模式. 而我们在平常的教学当中经常要对例题、习题和练习题进行探究. 新教材中的课后习题、各地的高考试题及月考试题，大多具有较强的代表性、可塑性和迁移性，是知识和方法发展的源泉,也是有关考试命题的重要依据. 在数学教学与复习中，如果能重视对课本中的习题、各地的高考试题及月考试题进行一题多解、一题多变、引申推广，那么常可获得形式新颖、综合性强并具有探索性的问题，进而能有效地训练学生思维的灵活性和深刻性，提高学生的探究能力和创新意识. 下面我以嘉兴市2008年高中学科基础测试（理科）数学试题卷一道选择题（第9题）为例，浅谈我对新课改的一点感悟.
问题
如图1，点P（3，4）为圆x2+y2=25上的一点，点E，F为y轴上的两点，△PEF是以点P为顶点的等腰三角形，直线PE，PF交圆于D，C两点，直线CD交y轴于点A，则sin∠DAO的值为（）
A．B．C．D．
解决问题
探究1（特例法）：
由题意取E0，，F0，，又点P坐标为（3，4），则kPE=－，kPF=，所以PE 的直线方程为 y=－x+， PF的直线方程为y=x+. 则联立方程x2+y2=25y=－x+得D－，，x2+y2=25，y=－x+得C－，. 于是又可得kCD=，所以sin∠DAO=，故选C.
点评能想到此法的学生比较多，但绝大部分学生由于数据处理与运算能力不够，而解不出正确答案.
探究2（一般法）：
设PC的直线方程为y=kx－3+4，则与圆的方程x2+y2=25联立得（1+k2）x2+（8k－6k2）x+9k2－24k－9=0.
则由韦达定理得xC•3=，所以xC=. 用－k代替k得xD=.
则yC=，yD=.
可得kCD=，所以sin∠DAO=，故选C.
点评能想到此法的学生也很多，但绝大部分学生由于相关知识的储备和运算能力不够，而解不出正确答案.
探究3（几何法）：
由△PEF是以点P为顶点的等腰三角形，作PH垂直于y轴交y轴于H并延长交圆O于G点，所以∠DPH=∠CPH. 所以CG的弧等于GD的弧. 所以OG⊥CD.
又得G（－3，4），所以kOG=－，则kCD=，所以sin∠DAO=. 故选C.
点评此题的最佳解答方法是几何法，要有很强的观察能力和对图形的敏感性，充分利用图形的几何性质，往往能收到事半功倍的效果.
探究4：（极限法）
由△PEF是以点P为顶点的等腰三角形,当∠DPC的度数趋向于零时，可知D与C会无限接近于G点，则CD的斜率就是过G点的圆的切线斜率. G坐标为（－3，4），所以kOG=－，则kCD=，所以sin∠DAO=. 求过G点的圆的切线的斜率，可用导数知识求y′=－，y′x=-3=，所以sin∠DAO=. 故选C.
点评此法如神来之笔，要有很强的观察能力、联想能力与极限的思想. 在数学上有一定的天赋，才能得出如此巧妙的解法，此法技巧性很强，而且是锻炼思维的一道好题.
引申
根据此例，我们还可以推广出其他的结论.
引申1：点P（x0，y0）为圆x2+y2=r2上的一点，点E，F为y轴上的两点，△PEF是以点P为顶点的等腰三角形，直线PE，PF交圆于D，C两点，直线CD交y轴于点A，则sin∠DAO=.
引申2：点P（x0，y0）为椭圆+=1上的一点，点E，F为y轴?摇上的两点，△PEF是以点P为顶点的等腰三角形，直线PE，PF交椭圆于D，C两点，直线CD交y轴于点A，则sin∠DAO=.
引申3：点P（x0，y0）为双曲线-=1上的一点，点E，F为y轴上的两点，△PEF是以点P为顶点的等腰三角形，直线PE，PF交双曲线于D，C两点，直线CD交y轴于点A，则sin∠DAO=.
以上三个引申的结论限于篇幅，证明从略，读者自行证明.
本道试题的特点是起点低，入口宽，立意高，解法一波三折，大部分学生都有思路，但是能正确计算出结果的人寥寥可数. 从高考命题的角度来看，立足于课本的同时又体现了一定的区分度，而区分度着重体现在一个“活”字，这就要求学生在平时的做题过程中学会总结与反思，更需要教师在高考复习中能解读教材，立足课本，以课本为纲，以纲据本，重视对课本的例题、习题、各地的高考试题及月考试题等进行有效的挖掘与引申，在解决数学问题的时候尽可能从不同角度分析，同时比较各种方法的利弊，使教学更有效，收到“一本万利”的效果.
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