运用母函数求解递推数列通项公式|递推数列1,3,4,7,11
四川内江师范学院数学与信息科学学院641112 摘要：在教学中， 教师应充分认识递推数列在初等数学与高等数学中的本质联系，从高等数学的高度进行教学，这有利于培养学生创造性的思维和探究问题的能力． 本文利用母函数求解相关的一阶递推数列、二阶递推数列的通项问题.
关键词：母函数；递推数列；应用
在日常教学中，教师一般从初等数学的角度进行教学，采用“化归”的思想，引入辅助数列把问题转化为等差数列或等比数列来解决，但求解过程较烦琐，技巧性也不强． 有些教师认识到递推数列问题在高等数学中的背景，从高等数学的高度进行教学，如采用“特征根法”“不动点法”等． 本文主要利用母函数知识来研究递推数列问题．
定义对数列｛an｝中的各项a0，a1，a2，…，构造函数G（x）=a0+a1x+a2x2+…，称G（x）为数列｛an｝的母函数．
规定G（x）可以像多项式那样进行四则运算，不用考虑敛、散性．
用母函数求解递推数列通项问题时一般有4步.
（1）构造数列｛an｝的母函数G（x）=anxn=a0+a1x+a2x2+a3x3+…；
（2）将关于an的递推关系式转化为关于数列｛an｝的母函数G（x）的方程式；
（3）解出G（x）=++…，并根据=xn=1+x+x2+x3+…及=（px）n=1+px+（px）2+（px）3+…，
=Cxn，将母函数的函数表达式展开成G（x）=a0+a1x+a2x2+a3x3+…的形式；
（4）根据母函数G（x）=a0+a1x+a2x2+…中xn的系数an，求出数列｛an｝的通项.
[⇩]一阶线性递推数列
an+1=p（n）an+q（n），a1=a（a为常数，p（n）≠0），其中p（n），q（n）是关于n的函数.
例1 （2008四川）设数列｛an｝的前n项和为Sn，已知ban－2n=（b-1）Sn .
（1）证明：当b=2时，数列｛an-n・2n-1｝是等比数列；
（2）求数列｛an｝的通项公式．
解析 由题意知a1=2，且an+1=ban+2n．
（1）略.
（2）当b≠2时，an+1=ban+2n，且有a0=．
设数列｛an｝的母函数为
G（x）=a0+a1x+a2x2+a3x3+…，
所以
x∶a1=ba0+20，
x2∶a2=ba1+21，
x3∶a3=ba2+22，
…
以上等式相加得G（x）=［（b-2）x・（1-2x）（1-bx）］.
令G（x）=
+，则an=・（A・2n+B・bn）.
所以A+B=1，
（2A+bB）=2 .解得A=，B=．
因此an=［2n+（2-2b）bn-1］．
综上所述，当b=2时，an=（n+1）2n-1；当b≠2时，
an=2，n=1，
［2n+（2-2b）bn-1］，n≥2 .
评注经研究，如果数列｛an｝满足an+1=pan+qn（p≠0，1，q≠0，p≠q），且a1=a，则an=apn-1+－．
[⇩]二阶线性递推数列
an+2=pan+1+qan，a1=a，a2=b（a，b为常数，pq≠0）．
例2（2008广东）设p，q为实数，α，β是方程x2－px+q=0的两个实根，数列｛xn｝满足x1=p，x2=p2－q，xn=pxn-1－qxn-2（n=3，4，…）．
（1）证明：α+β=p，αβ=q；
（2）求数列｛xn｝的通项公式；
（3）若p=1，q=，求数列｛xn｝的前n项和Sn．
解析 xn=pxn-1－qxn-2对n=2，3，4…也成立，则x0=1．
（1）略.
（2）设数列｛an｝的母函数为
G（y）=a0+a1y+a2y2+a3y3+…，
所以y2∶x2=px1－qx0，
y3∶x3=px2－qx1，
y4∶x4=px3－qx2，
…
以上等式相加得G（y）=，且α+β=p，αβ=q．
当α≠β时，令G（y）=+，
所以A+B=1，
βA+αB=0，
即A=，B=－.
因此xn=.
当α=β时，G（y）==C（ay）n，
因此xn=Cαn=（n+1）αn.
综上所述，
xn
=［αn+1－βn+1］，α≠β，
xn=（n+1）αn，α=β.
（3）略．
评注经研究，如果数列｛an｝满足an+2=pan+1+qan，且a1=a，a2=b（pq≠0，a，b均为常数），其中α+β=p，αβ=－q．
当α≠β时，
an=；
当α=β时，an=aαn-1+（n-1）（b-x）αn-2．
在2008年的高考数学试卷中出现了一阶递推数列、一阶分式数列和二阶递推数列问题，而且数列的形式相当复杂，因此，在教学中加强递推数列在初、高等数学中的本质联系，从高等数学的角度进行教学，才能保证学生在高考中占有一定的优势．
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