【浅析高中数学解题的思维策略】现代小学数学思维训练解题策略

　　摘要：在数学解题的思维过程中，转换阶段的核心是解题思维策略的选择和运用，它对于实现解题起着关键的作用. 因此，在数学教学中重视解题思维策略的训练对于提高学生的数学思维能力具有直接的指导意义，同时，对于破除我国当前数学教学中仍然存在的题海战术也具有积极的现实意义.
　　关键词：数学解题；思维策略；解题训练；思维过程；目标状态；总结反思
　　
　　数学解题的思维策略，就是在发现和运用数学知识、方法，解决数学问题的过程中所采取的思路. 高中数学解题教学的关键就是让学生在解决具体数学问题时学会思考，会由未知向已知、复杂向简单转化，从而快速准确地解题. 因此教师在解题教学中要重视解题的思维策略的教学，用解题的思维策略去启发学生“不要只埋头走路，还要抬头看路”. 下面笔者结合实际谈谈在解题教学中的一些经验.
　　
　　认真审题、紧扣概念、快速分辨
　　数学解题的第一步是审题，审题就是要弄清题意，审清题目的结构特征，将已知条件深化，弄清已知条件的等价说法，实施相应的解题策略. 数学的基本概念、定义就是对数学实体的高度抽象和概括. 数学中的定理、公式、性质和法则等都是由定义和公式推演出来的，而定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念. 因此，解题时，我们首先应回到概念和定义上去，看看能否通过概念或定义去解题.
　　例1已知点P（x，y）满足方程x+y－1=，则点P（x，y）的轨迹是?摇 ?摇.
　　解题策略分析 对于此题来讲，审题应该不太困难，容易想到本题就是考查“曲线和方程”的相应知识：化简方程. 如果这样想的话，我们可以通过对方程平方化简，但方程含x、y的交叉项xy，而对含xy项的二元二次方程对应曲线的讨论高中教材不作要求，至此，绝大多数同学都胡乱地写出一个答案. 如果我们进一步审题，抓住题目的本意，即仅需判断曲线的形状，且肯定是在圆、抛物线、椭圆、双曲线中选一个，并回到三者的概念或定义上去，则问题迎刃而解.
　　解析将原方程变形为=1，即=. 因为表示点P（x，y）到原点O（0，0）的距离，而表示点P（x，y）到直线x+y－1=0的距离，所以此方程的几何意义就是动点P（x，y）到定点O（0，0）的距离与到定直线x+y－1=0距离之比为>1. 所以动点P（x，y）的轨迹是双曲线.
　　解后反思 1. 曲线和方程是“形”与“数”的具体体现，这类题常常需要解决两大类问题：求曲线方程、已知方程研究曲线. 解决这两大类问题必须有关键的一步，即化简.
　　2. 椭圆、双曲线、抛物线是解析几何中的主要内容，我们要真正掌握和理解它们的第一定义和第二定义（统一定义），并在解决具体问题时，尽可能回到定义和概念上去，这样便会有意想不到的惊喜和解题体验.
　　找题眼、抓特征、理清思路、设想计划
　　数学问题千变万化，要想既快又准地解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须理清思路，善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案. 观察虽然是一种表面现象，但却是认识事物内部规律的基础. 因此，教师必须重视观察能力的训练，使学生不但能用常规方法解题，而且能根据题目的具体特征，采用特殊方法来解题，从而实现正确解题的目的.
　　例2已知a，b，c，d都是实数，求证：+≥.
　　解题策略分析 证明不等式最常见的三大方法是：比较法、综合法和分析法. 但本题若采用上述方法证明显然比较困难. 我们从题目的外表形式可以观察到，要证的结论的右端与平面上两点间的距离公式很相似，而左端可看作是点到原点的距离公式. 根据这个特点，本题可采用下面巧妙而简捷的证法.
　　证明 不妨设A（ａ，ｂ），Ｂ（ｃ，ｄ），如图1所示，则AB=，OA=，OB=. 在△OAB中，由三角形三边之间的关系知OA+OB≥AB，当且仅当O在AB上时，等号成立. 因此，+≥.
　　解后反思 在证明此不等式的过程中，我们的解题思路常常是想利用证明不等式的一些基本方法来证明. 很多学生看到这个不等式证明题，马上想到采用分析法、综合法等，而此题利用这些方法证明很烦琐. 学生没能从题目的外表形式上观察到它与平面上两点间距离公式相似的原因，是对这个公式不熟，进一步讲是对基础知识的掌握不牢固. 因此，学生平时应多注意对数学公式、定理的运用练习.
　　
　　瞄准目标、灵活转化、细想过程
　　凡事“预则立，不预则废”，数学解题也是如此. 尤其是面对具有一定难度的综合题时，解题的方向是什么，解题突破口在何处，众多条件中应该优先考虑哪一个，选择何种表达方式等问题，往往是阻碍学生成功解题的重要因素. 考试时不少学生拿到题目，方向未明，便盲目下笔，导致中途受阻. 因此讲评试卷时，教师一定要加强预测解题方向的指导，增强学生解题的目标意识，引导学生在仔细审题的基础上明确解题目标，然后朝着目标稳步推进. 这对提高学生的分析能力，增强解题的条理性、逻辑性，将是大有裨益的. 因此，在具体解决问题的过程中，我们要不断观察、仔细琢磨、认真研究，不断取舍、瞄准目标、不断检验. 即一要细想有没有理解好题意，是否将有关题设看错、看漏；二要细想原理，已知条件和法则是否对应，推理是否步步有据；三要细想运算格式是否已经完善，能否有更简洁的表述；四要细想解题步骤是否完整，解题结果是否符合题意.
　　例3在（1+x）n展开式中是否存在连续的四项，其系数依次构成等差数列？若存在，确定最小的自然数n及相应的四项；若不存在，试说明理由.
　　解题策略分析 此题属于开放性题型，常见解法是先假设存在，若能解出符合题意的解，则问题具有存在性，否则不存在. 此题同学们可以很快求出连续四项的系数为C，C，C，C，而后若利用C+C=C+C进行求解，会出现很烦琐的代数式，给解题带来困境. 若能想到利用四个数成等差数列的另一种处理思路2C=C+C，2C=C+C进行求解，则问题就简单多了.
　　解析假设存在这样的四项分别为第r+1，r+2，r+3，r+4项，则系数C，C，C，C满足2C=C+C，2C=C+C.
　　化简得?摇4r2+8r－4nr+n2－5n+2=0，①4r2+16r－4nr+n2－9n+14=0. ②
　　两式相减得n=2r+3，代入①得
　　r=－1，n=1，与r=0，1，2，…，n（n∈N+，n≥3）矛盾，所以不存在满足条件的四项.
　　解后反思 此题的解决过程中最关键的是想到四个数成等差数列应转化为两个方程构成的方程组，再解关于n，r的二元二次方程组. 这里要求同学们具有较强的运算能力.
　　
　　联想方法、思考纠正、总结反思
　　荷兰著名数学家弗赖登塔尔曾指出，“反思是数学思维活动的核心和动力”，“通过反思才能使现实世界数学化”. 著名数学教育家波利亚也说，“如果没有了反思，他们就错过了解题的一次重要而有效益的方面”. 通过反思，可以深化对问题的理解，优化思维过程，揭示问题本质，探索一般规律；通过反思，可以沟通知识间的相互联系，从而促进知识的同化和迁移，产生新的发现. 但是我们有的同学因为学习时间较紧或存在惰性心理，往往仅是完成任务式地解题，做完一道就扔一道，或马上再做下一题，仅仅局限在解题的基本层面上. 事实上，我们每做一道题都应该注意思考总结，做好之后回想一下解题过程，从中联想、归纳出这类题的一般解题思路，尤其是做完难题，更应从中掌握解题的方法. 对于自己做错或没有做出来的题，则应仔细推敲，并和自己当时的想法进行对比，查一查自己想法或思路上的问题出在哪一环，想通理顺后再做一遍，看看有没有更好的想法和解题方法. 这样，做过的题目才算真正消化，变成自己的东西，形成自己的想法和思路，实现多种解题方法的贯通.
　　例4若a＞0，b＞0，则+≥a+b.
　　解题策略分析 本题学生很容易利用基本不等式证明，但在讲评完之后，我们引导学生观察、反思，可发现该题的本质是“几何平均数不大于算术平均数”. 提出问题：能否推广为一般命题？通过探讨、论证可以得如下命题. （一般命题）
　　设xi＞0（i=1，2，…，n），则+++…++≥x1+x2+…+xn.
　　变式：ai＞0（i=1，2，…，n），下列式子成立吗？
　　①+++…+≥++…+；
　　②++…+≥++…+.
　　解后反思 指导学生反思可以从以下三个方面进行：（1）思过程得失. 想一想，解题时最大的障碍在哪里？这些障碍是怎样克服的？在解题策略上有何启示？（2）思解题模式. 即解题所使用的方法、技能是否有广泛应用的价值？如果适当地改变题目的条件和结论，问题将会出现怎样的变化？有什么规律？解决这个问题是否还有更佳的方法？对于典型问题要学会通过分析一道题，掌握一类题，举一反三，提高解题能力. （3）思解题中的数学思想方法. 即解题过程中是否能自觉、灵活地使用某些数学思想方法. 数学思想是数学知识的抽象与概括，是策略性的层次，对解决具体问题具有导向作用. 在试卷评讲中要引导学生提炼、归纳、应用，做到既用具体方法解决问题，又用相应的数学思想统摄思维、引领思考.
　　“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是精髓. 数学解题策略就是在长期的数学教学实践中，在知识、方法、思想的不断学习、反复运用中，提炼出来的认识数学、解决问题的基本观点. 要提高解题能力，同学们就必须动手实践，自生探索与合作交流，在具体解题实践活动中获得体验，提炼想法，形成自己的方法.
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