[导数在三次函数中的应用] 导数公式及运算法则

　　浙江师范大学数理信息学院321004 　　 　　摘要：新课程利用导数求曲线的切线，判断或论证函数的单调性、函数的极值和最值，利用导数解决实际问题等方面的试题分值在逐年增加. 导数是分析和解决问题的有效工具，能帮助我们加深对三次函数的性质和图象的理解与认识．
　　关键词：导数；三次函数；切线；单调性；极值和最值
　　
　　新课程的高考增加了导数的内容. 随着课改的不断深入，导数知识考查的要求逐渐加强，而且导数已经由前两年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的必不可少的工具. 三次函数是中学数学研究导数的一个重要载体，三次函数的问题涉及高中数学中较多的知识点和数学思想方法. 近几年，很多省份的高考数学试卷中都出现了以三次函数为载体，通过研究其图象性质，从而来考查学生的创新能力和探究能力的试题. 本人结合教学实践，就导数在三次函数中的应用及应用中的误区作初步的探讨.
　　
　　[⇩]关于三次函数的切线问题
　　函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线的斜率. 也就是说，曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线的斜率是f ′（x0），相应地，切线的方程为y－y=f′（x0）（x－x0）.
　　例1已知曲线S：y=x3－3x2－1，过原点作S的切线，求切线方程.
　　误解y′=3x2－6x，根据导数的几何意义可知，曲线的切线斜率k=y′|x=0=0，所以所求的切线方程为y=0.
　　分析此种解法错在对导数的几何意义理解有误，切线的斜率应该是在切点处的导数，而原点（0，0）不在曲线S上. 所以本题应该先设切点，再求斜率，最后求出切线方程.
　　正解设切点为（x0，x－3x－1），则切线的斜率k=3x－6x0 .
　　所以切线方程为：y－（x－3x－1）=（3x－6x0）（x－x0）.
　　因为原点在切线上，得到（x0－1）2・（2x0+1）=0.
　　所以x0=1或x0=－.
　　所以所求的切线方程为y=－3x或y=x.
　　例2已知曲线S：y=x3－3x2，求过原点O（0，0）的切线方程.
　　误解y′=3x2－6x，根据导数的几何意义可知，曲线的切线斜率k=y′|x=0=0，所以所求的切线方程为y=0.
　　分析此种解法少了一条切线，错误的原因在于混淆了两个不同的概念：“点O处的切线”与“过点O的切线”. “点O处切线的斜率”等于该点的导数值，而“过点O的切线”则仅表明，切线是经过点O的，但直线未必在点O处与曲线相切，“过点O的切线”的斜率不一定是该点的导数值，所以本题也应该先设切点，再求斜率，最后求出切线方程.
　　正解设切点为（x0，x－3x），则切线的斜率k=3x－6x0 .
　　所以切线方程为：y－（x－3x）=（3x－6x0）（x－x0）.
　　因为原点在切线上，得到x（2x0－3）=0，
　　所以x0=0或x0=.
　　所以所求的切线方程为y=0或y=－x.
　　
　　[⇩]关于三次函数的单调性问题
　　设三次函数f（x）的导函数f ′（x）=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数），Δ=b2－4ac.
　　（1）若Δ=0，则当a>0时， f ′（x）≥0，f（x）在R上为单调递增函数；当a0时，f ′（x）>0，f（x）在R上为单调递增函数；当a0，设f ′（x）的两根分别为x1和x2，x10时，f ′（x）在（－∞，x1）和（x2，+∞）上为正，在（x1，x2）上为负，所以f（x）在（－∞，x1）和（x2，+∞）上为单调递增函数，在（x1，x2）上为单调递减函数.
　　当a0，f（x）在R上是增函数.
　　（2）当m≠0时，f ′（x）=0时的Δ=4m2－36m=4m（m－9）.
　　①当m0，说明存在区间使f ′（x）0，所以09时，f ′（x）开口向上且Δ>0，说明存在区间使f ′（x）9时，f（x）在R上不是增函数.
　　综上可得，所求的实数m的取值范围为0≤m≤9.
　　例4已知f（x）=在（-1，+∞）内单调递减，求实数a的取值范围.
　　误解f ′（x）=.
　　由已知，f ′（x）=≤0在（-1，+∞）上恒成立，所以a≤0.
　　分析错误的原因在于未验证f ′（x）是否恒为0. f（x）在区间D上单调递增（或递减）的充要条件是f ′（x）≥0（或f ′（x）≤0）且在任一子区间上不恒为0. 而当a=0时，f ′（x）=0在（-1，+∞）上恒成立，此时f（x）=0不是单调递减函数，所以实数a的取值范围为a0时三次函数在闭区间［S，T］上的最值问题（a≤0的情况请读者自行证明）.
　　（1）当Δ≤0时，f ′（x）≥0，f（x）在R上为单调递增函数，所以f（x）在R上没有极值点，在区间端点S处达到最小，T处达到最大.
　　（2）当Δ>0时，设其两根分别为x1和x2，x1 本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文 　　正解（1）由已知有P
　　
　　，b-
　　，
　　y′=3x2－（2a+2b）x+ab，
　　所以，所求的切线斜率为3
　　2－（2a+2b）・+ab=－，
　　切线方程为y－b-
　　=－・x－
　　.
　　令y=0，解得x=b，
　　所以函数y=f（x）在点P处的切线过点（b，0）.
　　（2）因为a=b，所以y=f（x）=x（x－a）2，
　　y′=3x2－4ax+a2=3（x－a）x－
　　.
　　①当a>0时，函数y=f（x）在－∞
　　，上单调递增，在
　　，a上单调递减，在（a，+∞）上单调递增.
　　所以，当x∈［0，a+1］时，
　　有f
　　0，所以1　　②当a0. 解得a>1或a1时，f ′（x）>0，这时x=1是极值点，符合题意.
　　当a=－3，
　　b=3时，f ′（x）=3（x－1）2≥0，这时f（x）在x=1处无极值，不合题意，应舍去. 所以，a=4，b=－11.
　　总之，导数作为一种工具，在解决数学问题时使用非常方便，尤其是可以利用导数来解决函数的单调性、极值、最值以及切线问题. 在导数的应用过程中，要加强对基础知识的理解，注意应用过程中的误区，以避免出现一些不必要的错误.
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