【让探索成为自觉行为】自觉依法规范自己的行为

　　目前，笔者遇到这样一件事，一位高三的同学拿着一道高考数学模拟题来找我，问为什么他做的答案与参考书上不一样，是他错了还是参考书上的答案错了，我接过来仔细一看，原来是一道解析几何题（见变式2与生（7）解法）．这位同学是用椭圆参数方程求解的，但是对参数的几何意义理解不甚明了，结果导致了错误．事后，我把这位同学的解法给另几个高三同学看，也存在同样的问题．由此促使我思考：为什么这么多的同学都会出现同样的问题，反思自己以前的教学，查找各种出版社的教案集，依据新课程的理念，重新设计了椭圆参数方程的教学，取得了较好的效果．现提出，以求抛砖引玉．
　　
　　1 激发兴趣，生探索之根
　　
　　孔子说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”，可见兴趣在数学学习中的重要性．通过恰当的问题复习旧知识可使学生迅速进入状态，积极思考，激发兴趣，为新知识的学习做好必要的知识上的准备．
　　师：请看幻灯片上的问题，思考可用什么方法解答．
　　练习：在圆x2+y2=12上求点P，使点P到直线l:x-y+8=0距离最小．
　　生（1）： 用数形结合法，由图1知，其最小距离为圆心到直线距离与圆半径的差 ．
　　生（2）：平行移动直线l:x-y+8=0与圆
　　x2+y2=12相切，最初相切的直线与直线l的距离，就是所求的最小距离．
　　生（3）：利用圆的参数方程 x=23�cos�θ
　　y=23�sin�θ求解．
　　师：从刚才各位同学的解法中，你有什么感想？
　　生（4）：数形结合法最简单，生（2）方法比较复杂．
　　
　　2 创设疑问情境，萌探索之芽
　　
　　“学启于思，思启于疑”，学生积极的思维往往是以对问题的质疑开始，又在解决问题的过程中得到发展．因此，教学中要依据教材内容的特点，在新旧知识的衔接上创设质疑情境，使学生由被动接受迈向主动探索．
　　师：刚才这道题，大家均能积极思考，找到了解决问题的多种方法，并分析了各种方法的优劣．现在我将此题恰当地变动一下，看哪一位同学能继续引领大家走向成功的彼岸．
　　变式1：在椭圆 3x2+y2=12上找一点P，使点P到直线l:x-y+8=0的距离最小．
　　生（2）：可以像刚才一样，移动直线l:x-y+8=0与椭圆3x2+y2=12相切，最初与椭圆相切的直线与直线l之间的距离就是所求的最小距离．
　　生（5）：这样运算比较复杂，但刚才最简单的数形结合法又不能用了，要是椭圆也有参数方程可能会简单一点．
　　师：对，请大家回忆一下圆的参数方程的相关概念，看能否找到求椭圆的参数方程的方法．
　　
　　3 联想辨析――开探索之花
　　
　　世界充满着联系，也充满着矛盾．已知与未知、现实与需求、正确与错误的联系与交替不时造成学生认知冲突，教学中教师可利用和制造这些矛盾冲突进行联想辨析，把学生带入发现问题并解决问题的探索性学习活动中．
　　师：很对，那么参数θ又有何几何意义呢？
　　生5：设M（a�cos�θ,b�sin�θ)为椭圆上任一点，则θ是以x轴的正半轴为始边，OM为终边的角．
　　师：你是怎样想到的？
　　生（5）：我是类比圆的参数方程得到的．
　　师：果真如此吗？有无不同意见？
　　生众：深思，有的动手在草稿上画图验证．
　　生（6）：画出图3，感觉不对．
　　师：那么椭圆参数方程中参数的几何意义到底是什么呢？请大家先观察一下椭圆的参数方程x=a�cos�θ (1)
　　
　　（2）则是x2+y2=b�2的参数方程x=b�cos�θ
　　y=b�sin�θ中的第二个式子．
　　师：对，这样看来，（1）可看成圆x2+y2=a�2上一点的横坐标，（2）可看成是圆x2+y2=b�2上一点的纵坐标，换言之，点（a�cos�θ,b�sin�θ）的横坐标与圆x2+y2=a�2上一点的横坐标相同，纵坐标又与圆x2+y2=b�2上一点的纵坐标相同．由此，你能作出点M（a�cos�θ,b�sin�θ)吗？
　　图3图4生（3）：能，如图4，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，分别以a,b为半径作两个同心圆，过原点O作射线分别与两个圆相交于A、B两点，过点A作AN⊥Ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，则M点的横坐标等于A点的横坐标，M点的纵坐标等于B点的纵坐标，设∠xOA=θ，那么M点的坐标为M（a�cos�θ,b�sin�θ)．
　　师：由此你知道椭圆参数方程x=a�cos�θ
　　
　　生（2）：如图4，参数θ表示∠AOx．
　　师：经过刚才的探索之旅，我们知道椭圆参数方程中参数的几何意义是∠AOx而不是∠MOx，那么这两者之者有无关系呢？（又一次点燃了学生的求知欲望）
　　生（5）：有，如图
　　
　　4 体验成功――结探索之果
　　
　　每个人心中均有探索的欲望，教师在教学中如能创设一个适当的环境，让学生经历探索过程，体验成功的愉悦，感受探索结果的应用价值，必将使学生开出“智慧之花”，结出“成功之果”．
　　师：经过刚才的探索，我们得到了椭圆的参数方程，明确了参数的几何意义，下面我们看能不能应用它解决变式1．
　　
　　|4�cos�(θ+60°)+8|2≥22，所以椭圆上点到直线的最短距离为22．
　　师：从中我们看到椭圆参数方程的坐标，它在某种情况下确实为我们的解题带来很多方便，下面我们来看变式2（2007湖北高考模拟题）．
　　变式2：已知椭圆方程为3x2+y2=12，过原点且倾斜角分别为θ和π-θ (0＜θ≤π4)的两条直线分别交椭圆于点A、C和B，D．则四边形ABCD面积的最大值等于，此时θ=．
　　图5生（7）：如图5，根据椭圆的参数方程可设点A的坐标为x�A=2�cos�φ
　　
　　所以四边形ABCD的面积S=4x�A・y�A=83�sin�2φ，因为 0＜φ≤π4，
　　
　　师：有无不同意见？
　　生众：沉思．
　　生（8）：不对，当点A的坐标为（2�cos�φ，�23�sin�φ�）时，根据椭圆参数方程中参数的几何意义，角φ不是直线AC的倾斜角θ，φ与θ的关系为�tan�θ=y�mx�m=a�sin�φb�cos�φ，即 �tan�θ=3�tan�φ，
　　因为 0＜φ≤π6，所以 0＜2φ≤π3．
　　由生（7）的结果S=4x�A・y�A=83�sin�2φ知S���max��=83・32=12,此时θ=π4．
　　师：椭圆与圆一样具有参数方程，应用参数方程在许多时候能给我们的解题带来许多便利，但要特别注意椭圆的参数方程与圆的参数方程中参数几何意义的不同，忽视这一点，将导致我们得到片面的，甚至错误的结论．下面请大家拿出草稿纸做课堂练习（略）．
　　
　　5 教学反思
　　
　　以往的教学流程往往是这样：先提问或复习圆的参数方程及相关概念、作用，然后指出圆有参数方程，椭圆有无参数方程？今天我们主要解决这个问题，请大家看幻灯（出示新教材高中《数学》第二册（上）第101页例5），接下来与学生一起探索得出点M轨迹的参数方程为x=a�cos�θ
　　y=b�sin�θ (1)，θ为参数，θ∈［0,2π)，消去参数θ，得椭圆的标准方程x2a�2+y2b�2=1 (2)，并指出方程（1）就是椭圆（2）的参数方程，最后举例说明椭圆参数方程的应用．在这样的学习过程中，课堂主要是以接受式学习为主，学生对椭圆参数方程的来源及参数意义的认识是很肤浅的，再加上后续应用环节中很少提及参数的几何意义．由此我们就不难理解为什么有这么多的同学对变式2的错误解法看不出来的原因．新课程标准解读中明确指出：学生的数学学习不能仅仅是掌握一些概念和技能，而必须经历探索、猜想、推理等过程，把形成解决问题的一些基本策略作为一个重要的课程目标．弗赖登塔尔的“现实数学”思想也认为，数学来源于现实，必须应用于现实，数学教育如果脱离了那些丰富多彩而又复杂的材料，就将成为“无源之水，无本之木”．在本节课的教学中，教师从练习入手，通过变式创设了一个恰当问题情境，使学生现实地感受到探索出椭圆参数方程的必要性，然后在与圆的参数方程的类比猜想中，通过教师的主导作用几经反复，终于自己探索出例5的主要内容，明确了椭圆参数方程及其参数的几何意义，充分享受到探索后成功的愉悦．在随后有针对性的变式2的练习中，进一步巩固了椭圆参数方程及其几何意义．这样的教学有效地提高了学生探索与解决问题的能力，落实了教学目标．由此我想，为有效地配合、促进新课程理念的实施，防止学生走进题海战术的死胡同，培养学生的探索与创新能力，在高考中是否可以考虑适当延长高考时间，增加猜想、探索、类比考查内容，从而让学生走出为在规定时间内考出好成绩而花大量时间进行应试训练这种应试教育模式．
　　
　　注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文