[勾股定理及其逆定理的另证] 勾股定理逆定理怎么证

　　四川南充高坪第三中学 637100 　　 　　摘要：勾股定理及其逆定理的证法很多. 笔者运用平面几何中著名的托勒密定理，构造出托勒密定理满足的基本条件，再借助初中几何的圆及四边形等综合知识，对两个定理加以证明. 利用构造的方法，对培养学生的创新思维具有抛砖引玉的功效.
　　关键词：勾股定理；逆定理；另证；方法
　　
　　勾股定理的证明方法多达四百余种，而它的逆定理的证法却没有那么多，笔者曾用同一法证过其逆定理. 大多数方法都是运用中学数学中常规的数学思想方法加以证明的. 笔者结合多年的教学实践研究，运用高中数学竞赛纲要中所要求的一个重要的著名定理――托勒密定理，对勾股定理及其逆定理加以了证明，让人耳目一新，既拓宽了学生的视野，启迪了学生的思维，又引导了学生如何去拓展书本中的知识，丰富了学生的课外生活，激发了学生课外探究数学的热情，增强了解决数学问题的能力. 下面，笔者将托勒密定理的证明及如何运用它来证明勾股定理及其逆定理提供给同行们.
　　
　　[⇩]托勒密定理：圆的内接四边形中，四边形的两组对边的乘积之和等于对角线的积
　　已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O.
　　[D][A][B][O][G][C][3][4][2][1]
　　图1
　　求证：AB・CD+BC・AD=AC・BD.
　　证明作∠BAG=∠CAD. 因为=，所以∠3=∠4. 因为∠BAG=∠CAD，所以△ABG∽△ACD. 所以=.
　　所以AB・CD=AC・BG.①
　　因为∠1+∠CAG=∠2+∠CAG，所以∠DAG=∠CAB. 因为=，所以∠ADG=∠ACB. 所以△ADG∽△ACB. 所以=.
　　所以BC・AD=AC・DG. ②
　　①+②得AB・CD+BC・AD=AC・（BG+DG）=AC・BD.
　　
　　[⇩]运用托勒密定理证明勾股定理及其逆定理
　　1. 勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
　　已知：如图2，在直角三角形ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，∠C=90°.
　　求证：a2+b2=c2.
　　[B][C][O][A][D]
　　图2
　　分析直角三角形ABC有且仅有一个以AB中点O为圆心，为半径的外接圆. 如果再在圆O上找一点D，就可以构造一个圆内接四边形，便可以运用托勒密定理得线段间的关系，从而得到勾股定理.
　　证明作出直角三角形ABC的外接圆O，连结OC并延长CO交圆O于点D，再连结BD，AD. 因为CD为直径，所以∠CBD=∠CAD=90°. 因为∠C=90°，所以四边形ADBC是矩形. 所以AD=BC=a，AC=BD= b，AB=CD=c.
　　由托勒密定理可得BC・AD+AC・BD=AB・CD，所以a2+b2=c2.
　　2 . 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a，b，c，满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
　　已知：如图3，在三角形ABC中，AB=c，BC=a，CA=b且a2+b2=c2.
　　求证：∠C=90°.
　　[B][C][O][A][D]
　　图3
　　分析三角形ABC有且仅有一个外接圆O，可将∠C放在圆中，得到一个圆周角. 要证明它为直角，只需要证明它所对的弦AB为直径即可. 要证AB为直径仅由a2+b2=c2得出谈何容易？此路不通另寻他途，不妨在圆O上再找一点D，构造出一个圆内接四边形看能否利用托勒密定理得出线段间的关系再结合已知条件a2+b2=c2来进行证明. 那么D点如何找呢？过B点作BD∥AC交圆O于点D，连结AD，CD，运用托勒密定理即可达到目的.
　　证明作出三角形ABC的外接圆O，过B作BD∥AC交圆O于点D，连结AD，CD. 因为BD∥AC，所以∠BDC=∠DCA. 所以=.
　　所以BC=AD=a . 因为=，所以∠BCD=∠BAD. 因为BD=BD，所以△ABD≌△CDB. 所以AB=CD=c. 因为四边形ACBD是圆O的内接四边形，
　　由托勒密定理可得BC・AD+AC・BD=AB・CD，
　　所以a2+b・BD=c2. 因为a2+b2=c2，所以BD=b. 所以BD=AC. 所以平行四边形ACBD是矩形，所以∠ACB=90°，从而命题得证.
　　从以上的证明方法可以看出，利用课外的著名几何定理，再结合我们所学的平面几何知识证明勾股定理及其逆定理时，既要具有构造的想象力，也要具有综合运用所学的知识的能力，从而更新自己的思维，达到创新的目的，这正是新课程标准所要求的.
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