数学史的教育价值_全面认识新课程下数学史的教育价值

　　现今，我国颁布的《义务教育数学课程标准(实验)》和《高中数学课程标准(实验)》已将数学的背景知识、数学史选讲与数学文化列入其中。可见，新一轮的数学课程改革，已使数学史成为数学文化的载体和数学课程的有机组成部分。数学教育的发展离不开数学史，数学史与数学教育是相互需要、相互依存不可分割的。当前数学课程的改革需要数学史：数学史是数学教育最好的启发式之一。正如英国著名数学史家和数学教育家史密斯所言：“数学史在今天已成为一门具有无可否认的重要性的学科。无论从数学的角度还是从教学的角度来看，其作用变得更加明显。因此，在公众教育中给予其恰当的位置乃是不可或缺的事。”“数学史已被公认为师范教育及大中学校学生自由教育中的重要学科”。
　　
　　一、教师对数学史教育价值的认识偏差。导致高评价低应用
　　
　　为了了解初中新课程中教师使用数学史知识教学的情况以及对数学史教学的看法，以便从中发现问题、解决问题，也为推动新课程的进一步发展提供实践支持，我们在2006年9月20日，对我县使用新教材的475名学生和45名初中教师进行了数学史进入新课程教学现状的调查(甘肃省从2004年开始初中新课程)。
　　调查结果表明：教师对数学史融入中学教学普遍持欢迎态度。认为可以增强学生学习数学的兴趣，培养良好的品质和爱国情操，对数学的学习有促进作用，但在平时的教学中只是偶尔使用数学史教学，而学生获得数学史知识的途径主要还是通过自己阅读或教师提倡阅读得到的。为什么会在理想与现实之间产生如此反差，以至于高评价低应用?我们认为有其主客观两个方面的原因。客观方面的原因：1、教师缺乏能应用于教学的数学史料。2、受中考或高考的影响。这是被大多数教师认同的，认为考题中没有数学史，是中、高考制约了他们提高自身数学史知识的愿望和在课堂中经常使用数学史。那么主观方面的原因是什么?在教师问卷调查中我们设计了你认为在课本中增加数学史料其目的是(　)。A、提升学生学习数学的兴趣。B、帮助学生了解定理、概念等的来历。c、启发学生的数学思维。D、培养学生良好品质和爱国情操。E、加强数学科学的人文化。统计结果有16人选A，10人选B，8人选C，6人选D，5人选E。从中可见对课本中增加数学史料的目的教师有不同层面的认识，有的从数学史教育的外在价值，有的从内在价值，说明教师的认识并不全面，即教师对数学史教育价值的认识上存在偏差，说明教师并没有把数学史看作理解数学的一种途径，相应地也就没有把数学史当作改进自己教学的一种工具，而是停留在课改前的水平，即数学史教育的两重目的：1、介绍中国古代数学成就进行爱国主义教育。2、提供少量“花絮”激发学生学习兴趣。
　　总之，我们认为教师对数学史的教育价值是缺乏足够的认识的，为了帮助教师正确认识数学史的教育价值，以便更好地服务教学，从数学史中寻找知识的生长点，能将数学的史学形态转化为教育形态，使新课程的理念得到落实，我们有必要回顾数学史教育价值的演化进程。
　　
　　二、从HPM的发展历程看数学史教育价值的演化
　　
　　数学史教育价值的认识早在19世纪就已被西方的一些数学家所提出，有人提倡数学史作为数学教师的教学工具的必要组成部分。1972年在英国爱塞特(Exeter)举办的第二届国际数学教育会议中美国数学史家P・S・jonse和英国的Leorogers联合组织了一个数学史与数学教学关系的国际研究小组，这个小组简称为HPM。它标志着数学史与数学教育关系已作为一个学术研究领域而出现，HPM从19世纪创立的先驱者，到20世纪初的倡导者，再到20世纪中期的推动者，他们都对数学史的教育价值提出了不同的观点，从人格维度，认知维度，文化维度分析，我们就可以看出数学史的教育价值已从单一走向多向，从狭窄走向全面，从浅层走向深层，只有正确厘清了数学史的教育功能价值，我们才能发挥数学史对数学教育的多维功能，进而自觉地把数学史当作教学的工具而使用。
　　
　　1　人格教育层面――数学史是德育的途径
　　美国著名数学史家，历史上第一个数学史教授卡约黎在1893年的《数学史》前言中强调数学史对数学教师的重要性：“如果用历史回顾和历史轶事点缀枯燥的问题求解和几何证明，学生的学习兴趣就会大大增加，算术课上学生乐于听巴比伦人和印度人的工作以及印度人“阿拉伯数码”的发明……在学生学习勾股定理殚精竭虑之后，告诉他们有关其发现的传说，――毕达哥拉斯对他的发现如此高兴，以致为缪斯女神献上百牲大祭，当数学训练的价值受到怀疑时，引用哲学家柏拉图的学园门口所刻的那句话：“不懂几何者免进”。学习解析几何的学生应了解笛卡儿，学习微积分的学生应熟悉牛顿、莱布尼兹，拉格朗日在创造这门学科过程中所起的作用。在历史的传说中：教师可以让学生明白：“数学并不是一门枯燥呆板的学科，而是一门不断进步的生动有趣的学科”。
　　数学史家琼斯(P・S・Jones)指出：希腊著名几何难题，阿基米德、卡丹、伽罗瓦、高斯等人的故事，费马最后定理等等都是可用于课堂的精彩有趣的历史话题。即使简略提及一个问题的研究者，研究的原因，最早的解法是什么，最后的解法是什么，最重要的或最好的解法又如何等等，都能激发学生的兴趣，因为学生对于人物、原因或最佳结果等有着天生的好奇心。
　　所以，早期学者们对数学史的教育功能认识只限于德育层面、人格维度，认为数学史可以激发学生学习数学的兴趣，发挥榜样的激励作用。
　　我国在1990年颁布的数学教学大纲(修订本)中指出：“要通过介绍我国的数学成就，数学在社会主义建设中的应用和成就，激发民族自尊心和爱国主义思想感情，使学生逐步明确要为国家富强、人民富裕而努力学习。”这说明数学史教育还停留在“爱国主义”、“民族自豪感”上。我们从1984年著名数学史家严敦杰先生著的《中学数学课程中的中算史材料》序言中就可略见一斑：“这本书的内容，主要选录和中学数学课程有关的中国古代数学发明，选录的标准是：(1)数学上的定理和公式属于中国人最先发明的；(2)数学上的定理和公式属于中国人独立创造获得的。”
　　因此，张奠宙先生提出关于数学史知识的运用的四个要求：①爱国主义与国际意识的统一。②数学史上的成就不能只论迟早，不可用比别人早多少年作为衡量数学成就的标准。③以祖冲之与刘徽为例，更全面地认识中国教学史。④以发展人类文化的观点讲解数学史。这些观点对我们今天在数学中讲授数学史是很有启发意义的。
　　那么，数学史的德育价值究竟体现在哪些方面?我们通过一些文献分析得到以下几个层面。
　　(1)通过中、外数学史料的介绍，使学生明确中国古代数学的辉煌成就，了解中国古代数学发展过程中灿若群星的数学家们的成就，在正确介绍史实与时代背景基础上，通过不同方法的对比，进行爱国主义与国际主义教 育。如勾股定理的多种证明方法，通过欧几里得证法与赵爽证法的比较，体会赵爽证法的优越性，理解在北京召开的2002年国际数学家大会上选用弦图作为大会会标的理由。
　　(2)通过数学家的生平，轶闻趣事，数学思想的起源与演进，了解数学家们勤奋刻苦的精神与坚忍不拔的意志，以及为真理而奋斗的献身精神，激发学生学习数学的兴趣，培养优良的道德品质。
　　(3)通过数学内部矛盾运动的发展史，了解数学概念的提出与发展，问题的产生与解决，方法结果的建立与应用，理论体系的构建与完善，树立辩证唯物主义认识论的发展、变化的观点。
　　
　　2　认知教育层面――数学史是教学的指南
　　从认知层面开拓数学史的教育价值依赖于19世纪下述两位学者的贡献，一位是法国实证主义哲学家，社会学家创始人孔德提出的，对孩子的教育方式和顺序上都必须符合历史上人类的认识过程，也即个体知识的发生过程与历史上人类知识的发生过程必然是一致的，它称为“历史发生原理”。另一位是19世纪德国生物学家海克尔(Haeekel E.1834―1919)所提出的著名的生物发生学的定律――“个体发育史重蹈种族发展史”，这个原理与定律的提出使一大批学者从学生认知维度探讨数学史的教育功能。
　　法国著名的数学家庞加莱认为数学课程的内容应完全按照数学史上同样的发展顺序展现给读者。美国著名数学家和数学史家M・克莱因指出：历史上数学家曾经遇到过的困难，课堂上学生同样会遇到，从演泽数学诞生开始，数学家花了1000年才得到负数概念，又花了1000年，才接受负数概念。因此，我们可以肯定，学生学习负数时必定会遇到困难。在批评只注重逻辑严密性的数学教材时指出：数学绝对不是课程中或教科书里所指的那种肤浅观察和寻常诠释，换句话说，它并不是从显明叙述的公理推演出毋庸置疑的结论来。数学家所经历的困难、挫折对学生具有很好的教育意义：通常的一些数学课程也使人产生一种错觉，它们给出一个系统的逻辑叙述，使人们有这种印象，数学家们几乎理所当然地从定理到定理，数学家能克服任何困难，并且这些课程完全经过锤炼，已成定局，学生湮没在成串的定理中，特别是他们正开始学习这些课程的时候……课本中的字斟句酌的叙述，未能表现出创造过程中的斗争、挫折以及在建立一个可观的结构之前，数学家所经历的艰苦漫长的道路，而学生一旦认识到这些，他将不仅获得真知酌见。还将获得顽强地追究他所攻问题的勇气，并且不会因为他自己的工作并非完美无缺而感到颓丧。所以他提出了“数学史是教学的指南”。
　　荷兰著名的数学家弗赖登塔尔提出学习数学的“再创造”原理，他指出：数学家向来都不是按照他创造数学的思维过程去叙述他的工作成果，而是恰好相反，把思维过程颠倒过来，把结果作为出发点，去把其他的东西推导出来，这种“教学法的颠倒”，掩盖了创造的思维过程，如果学习者不实行再创造，他对学习的内容就难以真正地理解，更谈不上灵活运用了。他从数学归纳法的历史考察中认为，学习数学归纳法的正确途径是，向学生提出一些必须用数学归纳法才能解决的问题，迫使他们直观地使用这个方法后，从而发现这个方法，在学生发现了和懂得了这个方法后，再去帮助他用抽象的形式把它叙述出来，再进到皮亚诺公理系统。现实的课本乃是“把火热的发明变成了冷冰冰的美丽”。因此，只有借助数学史。通过“再创造”，我们才能把冰冷的美丽变成火热的思考。
　　从认知角度，我们得到数学史教育功能的几个层面：
　　(1)从概念、公式、定理的演变过程，获取相关知识点的教学启示：重视知识产生发展过程的教学。
　　卡约黎在《初等数学史》中根据负数的历史得出结论：“在教代数的时候，给出负数的图形表示是十分重要的，如果我们不用线段、温度来说明负数，那么现在的中学生就会与早期代数学家一样，认为它们是荒谬的东西”。
　　汪晓勤在考察了三角公式的历史文献后得出早期数学家是利用直观的几何方法来推导三角公式的，所以在今天的几何教学中，为了使学生更容易理解和记忆三角公式，几何推导是不可或缺的。
　　菲尔波(Filep・L)通过对分数概念历史的考察，获得教学启示：分数概念的引入必须与度量联系起来，而不是两数相除。
　　(2)通过数学思想方法的考察，把分支学科基本思想提到教与学的指导地位，帮助学生更好地理解数学、掌握数学、欣赏数学，形成正确的数学观。
　　M・克莱因在其名著《古今数学思想》的序言中指出，在数学分支学科创立的过程中，由数学家提出的那些最突出的、对而后分支学科的创立最具影响力的那些新观念、新思想和新见解就是分支学科的基本思想，它是数学思想宝库中的精华。考察平面解析几何的创立过程我们可以看出：任何一个解析几何问题的解决都是通过“两化”(几何图形代数化与代数结果几何化)“一算”(代数计算)实现的。“两化”是解析几何的基本思想，抓住了它就抓住了解析几何的根本。
　　(3)重视数学原始文献的价值，达到数学史古为今用，从而培养学生的创造能力。
　　美国数学家洛维特(E・O・Lovett.1871―1957)说：“数学的学习者不应相信中间人的话，而应自己去寻找原始文献，寻找大师们自己的东西，二手的思想就像二手的书本和二手的衣服一样充满细菌。”用丢番图的墓志铭引入一元一次方程，用《周髀算经》中赵爽的弦图进行完全平方公式和平方差公式的教学，进行三角公式的教学等等，从“开立圆”术到祖咂正确推导出球体积公式，这些都是培养学生创造性思维的最好载体。《九章算术》中的盈不足术给出的解法，我们能用现在的数学知识解释吗?为什么对一次函数这个解答是精确的，而对非线性函数这个解答只是一个近似值?这样达到“读史可以明智”的目的。
　　总之，数学史教育功能从认知角度来讲，可以帮助我们更好地认识数学，掌握数学，理解数学知识的本质，学会数学的思维方式，培养数学研究的能力。
　　
　　3　文化教育层面――数学史是文化的桥梁
　　数学史文化教育层面的功能来源于人们对数学是一种文化的观念认识，也来源于当今数学教育改革与发展中，赋予数学学科承载的科学文化素质教育，即数学教育要将文化素质和科学素质结合起来。相应数学课程的目标就必须要包含这两个层次：具体的知识技能、方法的层次和无形的文化层次。现在的《高中数学课程标准》已将“数学文化”作为一个单独的模块列了出来，并提出了具体的教学要求。我们可以说，是否重视数学教学在学生人格塑造中的作用，是否发挥数学教学中的人文教育因素，已成为我们数学教师的教育观点正确与否的标志之一。
　　数学文化需要通过数学史的文化诠释。数学史对数学教育的作用也就不仅限于用数学家的故事和数学发展过程中的趣闻逸事、史料来将学生吸引到数学上，更重要的是通过数学发展过程中体现出人类思维发展的逻辑性、系统性、完整性和连续性，认识到数学文化的内涵：数学是一种科学的语言，是一种思维的工具，是一种思想方法，是一种理性精神，是一种艺术。所以台湾学者洪万生教授提出教师运用数学史可以分为三个层次。
　　(1)说故事，对学生的人格成长会有启发作用。
　　(2)在历史的脉络中比较数学家所提供的不同方法，拓宽学生的视野，培养全方位的认知能力与思考弹性。
　　(3)从历史的角度注入数学知识活动的文化意义，在数学教育过程中实践多元文化关怀的理想。
　　这第三个层次就是从文化教育的层面提出的。我国著名数学史家李文林先生综合以上三个维度提出了数学史在数学教学中的四方面作用。
　　①帮助学生加深对数学概念、方法、思想的理解。
　　②帮助学生体会活的数学创造过程，培养学生的创造性思维能力。
　　③帮助学生了解数学的应用价值和文化价值，明确学习数学的目的性，增强学习数学的动力。
　　④帮助学生树立科学品质，培养良好的科学精神。
　　综上所述，从1855年法国数学家泰尔凯(Terquem-o-1782―1862)创办历史上第一种数学史专业刊物《数学历史、传记与文献通报》后，随着数学、数学史、数学哲学、数学教育的发展和学科间的相互溶合，经过多位数学家、数学史家、数学教育家的努力，现今，HPM的研究领域，关注内容已非常广泛。如：数学与其他学科的关系，多元文化的数学、数学史与学生的认知发展，数学史与发生教学法、数学史与学生的困难，数学原始文献在教学中的应用等等。我国从2005年开始已先后召开了三届国际数学史与数学教育会议，它对推动我国HPM的普及与发展必将起到独到的贡献，我们只有全面认识了数学史的多维教育功能，才能自觉提高自己的数学史素养，从思想与文化的高度挖掘数学史料的教育价值，而不只停留于“贴标签”式讲授，也才能开发出好的HPM案例，真正把数学史当作教学的工具而使用。
　　
　　(责任编辑　刘永庆)