[高中数学微型探究课题的设计和思考] 高中数学课题题目

　　由于高中数学教材中单纯的探究性课题数量很少,作为它的必要补充,在数学教学中设计微型探究课题获得了广大教师的认可。微型探究课题可以从教材提供的案例和背景材料中发现和改造,也可以从其他教学资源中挖掘和设计,这需要数学教师提高对“数学探究课题”的认识水平,因地制宜地开发和设计各种“微型探究课题”。下面就以南京市正在实验的江苏教育出版社出版的《普通高中课程标准实验教科书・数学》中的相应教学内容为例,谈谈设计数学微型探究课题的实践和思考。
　　一、 联系生活实际,突出趣味性
　　联系实际设计“微型探究课题”,无疑能提高探究问题的趣味性,也能激发学生的探究兴趣,教师可以从生活中挖掘课程资源,创设有利于启发学生探究的微型课题,让学生在探究活动中自己去发现和解决问题,并营造合作交流的学习氛围。
　　案例1.《机器人踢球问题》(必修5《余弦定理》)
　　如图,矩形ABCD是机器人踢球的场地,AB=170 cm,AD=80cm,机器人先从AD中点E进入场地到点F处,EF=40cm,EF⊥AD。场地内有一小球从B点向A点运动,机器人从F点出发去截小球。现机器人和小球同时出发,它们均作匀速直线运动,忽略机器人原地旋转所需的时间。
　　(1)如果小球运动的速度等于机器人行走速度,则机器人最快可在何处截住小球?
　　(2)如果小球运动的速度等于机器人行走速度的2倍,则机器人最快可在何处截住小球?
　　(3)如果小球运动的速度等于机器人行走速度的t倍,机器人无法截住小球,则t的取值范围是多少?
　　在这个问题中,由于设计了机器人踢球的有趣的情境,激发了学生强烈的好奇心理和探究意识。在问题(1)中,机器人最快截住小球的点就是线段FB的中垂线与线段AB的交点;问题(2)中,如果机器人最快可在线段AB上的点G处截住小球,那么可以在△AFG中利用余弦定理求解;而问题(3)中,如果点F到线段AB的垂线段为FH,则t只要大于的值就可以了。
　　案例2.《饼干筒的表面积大小》(必修1《函数的简单性质》)
　　(1)一个圆柱形铝制饼干筒的体积是0.5 m3,如果它的底面边长是x m,表面积是y m2,那么当x为何值时,y有最小值?
　　(2)探究函数y=x2+的性质;
　　(3)探究函数y=x+的性质。
　　这个例子,原来只是对问题(2)、(3)中的函数y=x2+、y=x+,研究其单调性、奇偶性,现在由于赋予了一个现实情境,研究与生活化情境相联系的问题,能使学生感受到数学就在我们身边,也能体会数学知识和生活之间的密切联系,当然本例还有助于学生对函数研究的方法的提炼和提升,这里包括列表、描点,研究函数的极值点、局部性质、整体性质等。
　　二、 注重思维价值,凸显挑战性
　　设置“微型探究课题”要突出数学的思维价值,所探究的课题要能引起学生认知冲突,促使他们积极思考,但设置的“微型探究课题”的思维容量应有个“度”,如果探究课题过易,没有挑战性,那么不能引起学生的探究欲望,也没有探究的价值。当然,探究课题也不宜过难,否则学生难以企及,因此“微型探究课题”的设计要充分考虑到学生的知识水平和能力水平。
　　案例3.《柱、锥、台、球的表面积和体积的计算》(必修2《柱、锥、台、球的表面积和体积》)
　　(1)已知一个凸多面体共有9个面,所有棱长均为1,其平面展开图如图2所示,则该凸多面体的体积V是多少?
　　(2)如图3,有两个相同的直三棱柱,高为,底面三角形的三边长分别为3a,4a,5a(a>0)。用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可能的情形中,全面积最小的是一个四棱柱,则a的取值范围是多少?
　　(3)已知正六棱柱的底面边长为3cm,侧棱长为cm,如果用一个平面把该六棱柱分成两个棱柱,则所得两个棱柱的表面积之和的最大值是多少?
　　(4)给出边长为2a和两块面积相同的正三角形纸片(如图4)要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型,另一块剪拼成一个正三棱柱模型,使它们的全面积都与原三角形的面积相等,请设计一种剪拼方法,分别用虚线标示在图中,作出简要说明,比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。
　　这个例子中,一组原本只要简单计算柱、锥、台、球的表面积和体积的相关问题,由于设计了系列探究活动,将表面积和体积的计算结合图形的展开和折叠、拼补与分割及其图形的构造,使得这些问题具有较强的挑战性,又有较大的探索空间,学生需通过丰富的想象和数学思考,尝试探索问题的解决方案,凸显了数学的思维价值.
　　三、 渗透思想方法,体现过程性
　　设计“微型探究课题”要呈现整个“具体而微”的研究过程,既要使学生经历数学探究的全过程,又要体现研究问题的一般思维过程,这个过程也是自主探索、合作交流的过程。
　　案例4.《“基本不等式的证明”的导入》(必修5《基本不等式的证明》)
　　活动1:实验室中某同学用一个两臂不一样长的天平称量物体的质量,他每次都将物体放在左右两个盘中各称一次,得到物体的质量分别是a和b。
　　问题1.把两次结果平均一下,其结果作为该物体的质量,问:这种计量是否准确?说明理由。
　　问题2.你认为在此问题中如何合理地表示物体的质量M呢?
　　问题3.与哪个大?
　　活动2:拿出两张大小不同的正方形的纸,并把它们折成两个等腰直角三角形。
　　问题1.假设两个正方形的面积分别为a和b(a>b),计算两个三角形的面积。
　　问题2.如何通过对这两个三角形进行折叠和拼接构造一个分别以、为长和宽的矩形,它的面积是多少?你能发现什么结论?
　　问题3.你能证明≤(a>0,b>0)吗?
　　通过这个“微型探究课题”中的两个活动,能让学生经历基本不等式知识的产生和发展过程,即观察分析数学事实,然后转化数学问题,通过合理猜测,提出基本不等式≤(a>0,b>0),并给出证明。
　　案例5.《一类扇形内接四边形问题》(必修5《两角和与差的三角函数》)
　　如图5,现要在一块半径为1m、圆心角为60°的扇形纸板AOB上剪出一个矩形MNPQ,使点P在AB弧上,点Q在OA上,点M,N在OB上,设∠BOP=θ,矩形MNPQ的面积为S,求S的最大值及相应的θ的值。
　　将图5构造成图6再求解相应问题。
　　本题的设计展现了研究问题的过程,渗透了研究问题一般方法:从简单或特殊的情形入手,并将从简单或特殊情形获得的结论或研究方法迁移到较复杂的情形。本题中,先要求学生研究扇形中内接矩形的情形,然后用类比的方法研究扇形中内接平行四边形的情形,并化归为第一种情形,体现了“微型探究课题”的教育价值。
　　总之,“微型探究课题”的设置,对引导学生以自主探索、合作交流的学习方式,理解数学,认识数学,体会数学与现实生活的联系,体验数学研究过程,发展解决问题的策略,树立正确的数学观,确实具有重要意义。
　　参考文献
　　[1] 朱建明.开发和设计数学“课题学习”的实践和思考.教学与管理,2009(7).
　　(责任编辑刘永庆)
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文