【非奇异变换在二维离散单输入单输出时不变系统中的一个应用】二维离散傅里叶变换

　　摘 要：通过非奇异变换可以使系统状态矩阵化简，从而对于研究二维离散单输入单输出时不变系统的可镇定性变得更加简单。根据Schur-Cohn判据，找到合适的输入量，可以使系统渐近稳定。
　　关键词：非奇异变换；镇定；特征根
　　线性控制理论里Schur-Cohn判据提供了一种通过观察状态矩阵的特征根来判别系统渐近稳定的方法。对于一类二维单输入单输出时不变离散系统问题，系统的输出反馈比较简单，要寻求合适的输入，才能使得系统渐近稳定。但对于直接考虑输入量引起的状态矩阵的特征根来判别系统的渐近稳定性比较复杂。非奇异变换不改变系统的可镇定性，所以可以通过非奇异变换把一个二维单输入单输出时不变离散系统复杂的状态矩阵问题转化为简单的状态矩阵问题来处理，可以降低问题的复杂度，从而找到更好的输入量，使得系统渐近稳定。
　　1.二维离散单输入单输出时不变系统xk+1=Axk+Buky=Cxk，其中uk=v■Cxk，这里v■∈R，xk∈R2.
　　命题：考虑矩阵A∈R2×2，B∈R2×1，而且C∈R1×2，这里假设B和C都不为零，对于可逆矩阵T∈R2×2，定义三元组为（■■■）为（T-1AT T-1B CT），而且让■={■}，那么下列命题成立：
　　（1）如果CB≠0，那么■T，使得■={■}，■=（0，α），这里α≠0，而且b≥0.
　　（2）如果CB=0，那么■T，使得■={■}，■=（0，α），这里α≠0，而且b≥0.
　　证明：（1）设B=[β1 β2]"，C=[γ1 γ2]，选取矩阵T={■}，因为|T|=β1γ1+β2γ2=CB≠0，进一步■=[0 1]"，■=[0 α]，这里α=CB≠0。如果b≥0，结论是正确的；如果b<0，那么做非奇异变换T1=T{■}={■}，那么有T1就满足结论。
　　考虑矩阵T={■}，|T|=（β12+β22）≠0，所以T是可逆的。注意任意非零矩阵C满足CB=0可以写成C=[δβ2-δβ1]，这里有δ≠0，这时有■=[0 1]"，■=[α 0]，其中α=δ（β12+β22）≠0。如果b≥0，那么结论成立；否则b<0，我们进行初等变换：T1=T{■}={■}，那么满足题设结论。
　　2.因为非奇异变换不改变系统的可镇定性，所以通过输出反馈，对于系统的闭环系统：xk+1=Axk+vxkBCxk的可镇定性研究可等同于对下面两种类型的研究。
　　类型（1）：xk+1={■}xk；
　　类型（2）：xk+1={■}xk；
　　这里a≠0，且b≥0。因为a≠0，替换μxk=c+αvxk和是可逆的，所以对于形如系统（1）的任何系统，只要B和C都不为零，那么对于输出反馈系统的研究可以化为两种简单的情形。
　　情形（1）：系统的结构简化为：A={■}，B={■}，C=（1 0），这里a，c∈R，b≥o，这样（2）的形式化为xk+1={■}xk
　　情形（2）：体统的结构简化为：
　　A={■}，B={■}，C=（1 0）这里a，c∈R，b≥0，这样（2）的形式化为xk+1={■}xk.
　　根据Schur-Cohn判据：?坌λ∈σ（A），其中表示矩阵A的所有特征值，如果|λ|<1那么系统是渐近稳定的。所以可以调整输入μ■来使系统达到渐进稳定。
　　参考文献：
　　[1]游兆永，李磊，刘贵忠.线性时不变离散系统渐近稳定的充分条件[J].工程数学学报，1984,（02）:131-132.
　　[2]Hassan K.Khalil.Nonlinear systems(Third Edition)[M].New Jersey:Prentice Hall,2002.