【论有限元法定价永久美式看跌期权】欧式看跌期权定价公式

　　【摘要】金融衍生证券价格计算通常有两种方法：1）通过Monte Carlo模拟，产生原生资产在风险中性测度下的路径，然后估计贴现支付的风险中性期望值；2）数值方法，求解偏微分方程。本研究采用第二种方法。对基于Heston模型的永久美式看跌期权进行定价，在使用有限元方法时，引入惩罚项将变分不等式转换为等式，设计了逐次迭代法求出数值解，并以Numerix Across Asset Package作为基准进行校验。
　　【关键词】美式期权；随机波动率；有限元法；惩罚项
　　1.引言
　　永久美式看跌期权尚未在市场上交易，但其对长期美式看跌期权以及长期可转换债券的定价有着重要参考意义。Song-Ping Zhu和Wen-Ting Chen[1]提出了永久美式期权价值函数所需满足的偏微分方程以及边界条件。并且，对此类定价问题，有限微分法最为简易高效。Jurgen Topper[2]采用了有限元法求得在Black-Scholes模型下的美式期权以及欧式期权的价格，Gunter Winkler[3]解决了向上敲出、向下敲出带障碍的欧式期权在Heston模型下的定价问题。然而，应用有限元法解决随机波动率下的永久美式期权却因存在“障碍问题”的困难而并不常见。
　　R.Scholz[4]提出了一种解决此类问题的大致方法：设V是Hilbert空间，若要求解问题，即：寻找一个，使得：，对所有的成立，其中，是V的一个封闭子集。对于任意的，惩罚项问题为：寻找一个，使得对所有的成立。式中被定义为惩罚项，当时，，，，R.Scholz指出在恰当的选择下使得成立，那么，将收敛。本文将以此为基础使用有限元以及Ritz-Galerkin方法对问题求解。
　　2.基于Heston模型的永久美式看跌期权
　　Heston模型对经典的Black-Scholes模型进行了改进，使其能够更好模拟真实世界的股价运动，具体如(1)、（2）式，式中为股价过程，为波动率过程，为布朗运动。
　　美式看跌期权允许持有者在任意时刻行权，而在永久美式看跌期权中，并且每一组相同的股票初始价和初始波动率对应于一个期权价格。理性持有者将在最佳时刻执行期权，故定价公式为：；τ为停时}。鉴于对未来的不可预知，可认为投资者可用的信息被封装在域流中。
　　对于美式期权定价，可从鞅的角度入手。美式期权销售者希望折现价格为上鞅，以此保证盈利；而作为买方，想为自己安排一场公平的游戏。问题的关键在于执行时间，买方不会愿意行权只要（g是支付函数)，否则他可以将期权卖出获得与其直接执行期权所得相等的报酬，这表明鞅的性质会一直保留到第一次，可由以下定理一寻找期权价值。
　　定理一：假设满足如下条件：
　　1)对于任意的成立；
　　2)存在常数使得对于任意的成立；
　　3)对于任意的初始条件是上鞅；
　　4)若为第一次成立，则对于任意的初始条件是上鞅。
　　则是最佳执行时刻。
　　证明：首先证明。τ是任意停时，且，，根据条件3)和可选抽样定理[6]得和是上鞅。而据1）有：
　　由表二观测发现，期权价格和为反相关关系，这是由于越小，对于提早行权的影响越大。在我们的问题中，障碍是一个又下限的函数，他会向上拉升，使收敛于。
　　为了逼近提早行权边界，必须注意到当美式期权被转化为惩罚项问题时，有限元方法的解具有如下性质：在执行区域：对于一些网格点成立，然而为了使逼近有效必须，是一个很小的数，这意味着可以引进参数去逼近。在此区域中，对于买方来说，即刻的使得降至以下，他需要立刻执行期权。由此，选择不同的，用Matlab生成提早行权区域(及价值函数图象)（见图一）。
　　从图一中可以观察到，在附近期权函数为一个近似平面，而在附近时，他又变为了一个曲面，这便是对于平滑粘连的体现。
　　参考文献
　　[1]Song-Ping Zhu和Wen-Ting Chen,A spectral-collocation method for pricing perpetual American put with Stochastic Volatility,2011 July.
　　[2]Jurgen Topper,Option Pricing with finite elements method,January 2005.
　　[3]Gunter Winkler,Thomas Apel和Uwe Wystup,Valuation of options in Heston’s Stochastic Volatility Model using finite element methods,April 2001.
　　[4]R.Scholz,Numerical Solution of the obstacle problem by the penalty method,1984.
　　[5]Richard S Falk,Numerical Solution to Partial Differential Equation-Lecture Notes,Spring 2012.
　　[6]Steven E.Sherve陈启华,陈迪华译,金融随机分析第二卷,2008.
　　作者简介：
　　姚嘉宁（1988—），浙江宁波人，2011年7月毕业于天津财经大学信息与技术科学系计算数学专业（辅修金融管理），2009年作为交流生在美国圣迭戈大学学习经济与统计课程，2011年进入美国罗格斯大学应用数学系金融数理专业，攻读硕士学位，主要研究方向：随即微分、偏微分方程数值解、金融建模与编程。
　　姚克勤，1983年毕业于浙江大学物理物理系，理学士，工商管理硕士，副教授，现供职于浙江纺织服装学院商学院，主要研究方向：证券、期货电子化、电子商务、管理信息系统。