【“抓住随机失误，灵活进行数学教学”案例】数学教学网站

　　摘要：本文从一节数学习题课中的偶然失误出发，因势利导，发现失误中蕴藏的必然结论，通过归纳、类比等常用数学思想，与学生一起完成了一节有意义的课堂教学，并从中得到一些个人教学体会.
　　关键词：?摇数学课堂；随机失误；课堂教学；体会
　　
　　数学教学是一项极其复杂但又丰富多彩的活动. 尽管教师认真准备，仍可能出现一些意想不到的失误，如写错或算错题，读错字等等. 人非圣贤，孰能无误？在漫长的教学生涯中，每一位教师都可能遇到失误，但如果能及时抓住失误并能合情合理地处理，那么说不定就会有意想不到的收获.
　　本人曾选用《2009年中原部分省级示范高中第一次联考（文科）》的压轴题作为课后练习题. 但第二天课堂上叫学生起来校对答案时，发现好几个同学第二小问都是同一个错误的答案，诧异之余发现原来是自己不小心抄错了原题的一个数据，于是赶紧向学生们道歉.
　　原题在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（1，0），B（2，2）为两定点，点C满足=（1－4α）+α，其中α∈R.
　　（1）求点C的轨迹方程.
　　（2）设点C的轨迹与双曲线－=1（a，b>0）交于不同的两点E，F，且•=3，求证：－为定值.
　　我在抄题过程中将“•=3”误抄成“•=5”，可很多学生却能得到一个定值－. 于是我让一名学生将解题过程呈现在黑板上：
　　解析（1）y=－x+1（过程略）.
　　（2）设E（x1，y1），F（x2，y2），
　　联立y=－x+1，－=1，
　　消去y得（b2－a2）x2+2a2x－a2－a2b2=0.
　　令Δ>0，
　　则x1+x2=，
　　x1x2=.
　　又•=x1x2+y1y2=x1x2+（1－x1）（1－x2）=2x1x2－（x1+x2）+1=+1=+1=+1，
　　而•=5，
　　所以+1=5.
　　所以－=－为定值.
　　学生的解答过程与我手中的答案几乎完全相同. 我随即给出问题：如果•=3，结论是什么？立即有学生回答是－1，并指出只需将上述证明过程中改成+1=3即可.
　　直觉告诉我，这里面可能有文章可做，我马上将这种感觉告诉了学生.
　　还是那位同学站起来，提出了一个猜想：将“•=3”改成“•=n”时，－仍为定值. 我立即给予赞扬. 并马上顺势提出一个问题：“•=n”是“－为定值”的充要条件吗？该生略作思考，立刻给出了肯定的答复：•=n?圳－=.
　　这时学生已经有点兴奋了. 我也被他的情绪鼓舞.
　　我在黑板上画了一下图形，突然提了一个问题：能将直线改成y=x+1吗？并让学生讨论. 在议论过程中，有学生迅速给出了满意的答复：根据图形的对称性，易知直线为y=x+1时不影响结果. 我立即提议同学们热烈鼓掌，又说：“既然左右对称，那么上下……”话音未落，已有学生抢话：“上下平移也对！”我立即挥手示意他站起来，“能否给出证明？” 这位学生因抢话而有点不好意思，面红耳赤地说“还不知道！”
　　于是我给出新的猜想：若直线y=x+m与双曲线－=1（a，b>0）交于不同的两点E，F，且•=3，求证－为定值.
　　学生们一片寂静，埋头演算.
　　几分钟后，有学生已经结束运算，并开始窃窃私语了. 这个结论是否成立，其实我自己也不知道. 只是一个猜想罢了. 那位抢话学生也已经算完. 我让他写在黑板上：
　　证明设E（x1，y1），F（x2，y2），
　　联立y=x+m，－=1，
　　消去y得（b2－a2）x2－2ma2x－a2m2－a2b2=0.
　　令Δ>0，
　　则x1+x2=，
　　x1x2=.
　　又•=x1x2+y1y2=x1x2+（x1+m）（x2+m）=2x1x2+m（x1+x2）+m2=+m2=+m2=+m2，?摇
　　而•=3，
　　所以+m2=3.
　　所以－=为定值.
　　（这名学生还比较聪明，只是将原板书适当做了改动）
　　学生们都有点激动，我也惊讶于这样的结论. 没想到这位同学还有下文：将“•=3”改成“•=n”时－也会是定值－=. 其他学生都流露出了钦佩的神情，我也及时进行了夸奖.
　　至此，我们可以得出命题：若直线y=±x+m与双曲线－=1（a，b>0）交于E，F不同两点，则•=n?圳－=.
　　应该说，此题到此可以告一段落了. 于是我开始进行小结：“……在一些不经意的失误中，有时也隐藏着一些不为人知的规律，偶然之中也有着必然. 在数学学习中，抓住每一个细节，并通过我们数学推理和证明……”突然之间，我停了下来，学生们都莫名地看着我. 我走到刚刚得出的命题前，略作改动，给出了下面的猜想：若直线y=±x+m与椭圆+=1（a>b>0）交于E，F不同两点，且•=n，求证：+为定值.
　　我要求学生求解y=x+m的情形，并请了一个运算较好的同学进行板书.
　　证明设E（x1，y1），F（x2，y2），
　　联立y=x+m，+=1，
　　消去y得（b2+a2）x2+2ma2x+a2m2－a2b2=0.
　　令Δ>0，
　　则x1+x2=，
　　x1x2=.
　　又•=x1x2+y1y2=x1x2+（x1+m）（x2+m）=2x1x2+m（x1+x2）+m2=+m2=+m2=+m2，?摇
　　而•=n，
　　所以+m2=n.
　　所以+=为定值.
　　得出的结果是令人满意的，是一次椭圆与双曲线之间的合理迁移，完美类比. 同学们也都非常感慨：原来还可以得出这样的结论.
　　接着，我再次得出一个命题：若直线y=±x+m与椭圆+=1（a>b>0）交于E，F不同两点，则•=n?圳+=.
　　原是我的一次随机失误，结果却成了这堂课的一个很好的“引子”. 尽管原来的上课设想被打破了，但我和学生却都感到这节课颇有收获.
　　从这节课中，我有几点小的体会：
　　（1）遇到失误，首先要勇于承认. 古人云：金无足赤，人无完人. 尤其对于数学课堂来说，教师一点不犯错误几乎是不可能的. 只要及时认识失误，照样能树立自己的威信. 承认错误也是尊重知识的表现，教师正好可以借此做个榜样.
　　（2）遇到失误，要冷静面对. 一旦出现失误，一定要沉着，冷静，稳住情绪，积极思考对策，切忌立马自乱阵脚. 不乱找客观原因，给自己“找台阶下”.
　　（3）遇到失误，要巧妙处理. 失误有时并不是不可挽回的错误，就像我上面的教学案例，只要处理得当，一样是不同的精彩，而且往往会更加自然，少了刻意的雕饰.
　　（4）学生永远是课堂的主体，我们不能剥夺学生的这个权利. 把课堂的随机失误当成师生之间的一次更加面对面的交流，坦诚而深入，让数学课堂变得更加生动.
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