[论用圆规和直尺能使立方体加倍的最大极限]用圆规和直尺设计图案

　　摘要:用圆规和直尺使立方体加倍,是一个世界性的几何难题,曾由历代数学专家,分别在各个不同的历史时期,都对这个问题作过多方面的证明,其证明的共同结果是,“用圆规和直尺使一个立方体加倍是不可能的”。现在,在通过创造了一个框架法的研究以后,终于使这个问题得到了重大的突破。
　　关键词:立方体加倍 代式 框架
　　
　　前 言
　　在公元前很早的一个历史时期,太阳神阿波罗便预言,德里安的祭坛,在不久的将来,它的体积将会增加一倍,当这一预言出现以后,经过了很长的一段历史时期一直没能得以实现,这样以来,太阳神阿波罗的这一理想预言,不仅是给人们留下了一个意味深长的历史传说,同时也给人们留下了一个耐人寻味的历史性的几何难题。
　　绪 论
　　用圆规和直尺使一个立方体加倍,已经是经过了两千多年的历程,通过以框架法所固有的函数值所对应的角作为先决条件,终于使这个问题得到了基本上的解决,解决了用圆规和直尺使一个立方体加倍的问题,不仅是实现了太阳神阿波罗的这一预言的长期梦想,也是添补了一项世界性的知识空白,这在今后对于三角学的进一步的研究和发展,具有重大的现实意义和深远的历史意义。
　　早期的思想理论
　　在阿波罗的预言出现以后,在对于这个问题的开始,人们对于它的研究,是不受圆规和直尺这一条件所限的,据《100个著名初等数学问题》第35题所述,早在公元前的300多年以前,希腊数学家梅纳奇马斯(Menatch mus, 公元前约375―325年)的解法,基于求其参数的K和2K的两条抛物线(1)x2=ky和(2)y2=2kx的交点,由于x4= k2 y2= 2k3x所以该交点的横作标x能满足x3=2 k3的条件,因此得到所求的边为x。
　　相隔100多年以后,伟大的数学家阿基米德,所采用的最简单最精确的作图方法是纸条法,他所确立的解题理论方案是x=k3■,在这一思想理论的指导下,他运用了边截线定理,证明了他的这一作法合乎x= k3■。
　　到了公元6世纪,一位名为尤托希尔斯(Eutooius)的数学家,他所提出的思想理论,与阿基米德的思想理论基本想同,他是用k来作为立方的一边,用x来作为所求的立方体的一边,这两个立方体的各自的体积为k3和x3,因此,当线段k为已知,那么所面临的问题是求第2条线段x1使得x3= 2k3,实际上也就是阿基米德所确立的方程式x=k3■,由此看来,以上三人在这个问题上所确立的思想观点是完全一致的。
　　前人对于这个问题所作的证明,是通过设立多个“代代式”(用字母来代替某一函数式;方程式、多项式、表达式、等形式)来进行证明的,这是完全不符合证明要求的,所谓的证明,只能表现在对于通过某种方法所取得的相应的结果进行理论性的检验,必须得用可靠的材料来表明或判定事物的真实性,单靠设立的几个“代代式”来证明这个问题的正确与否,是永远也不会得出任何结果的。
　　现实的思维方法和理论
　　用圆规和直尺使一个立方体加倍,是指用圆规和直尺通过题中所给出的一个已被限定长度的线段作为参照标准,再作出一条被求的理想线段,使其被求线段的立方等于给定段段的立方的2倍,这就是题中所提出的具体要求和目的。
　　解决这一问题的最终目的,是要通过某种方法来作出这个与给定线段具有2倍立方关系的被求线段,只有首先搞清楚这个被求的线段的具体长度是多少,才是解决这个问题的先决条件。对于题中给定的线段来讲,无论它的长度是多少,我们都没有必要去知道它的具体长度,我们只是将它看作成单位一就可以了。这样以来,对于解决这一先决条件,我们所设立的方程为x3=2,通过查表得知,2的立方根近似于1.26,这就说明,我们所要掌握的这条被求线段的具体长度是结定线段的1.26倍,只要能够做出这样的一条线段,那么这个个关于立方体加倍的问题也得到了彻底的解决。
　　在通过对于这个问题进行了长时期的研究以后发现,对于如何取得这个已被得知具体长度的被求线段,必须得通过框架法来确定出这条被求的线段,在目前看来,能够解决这个问题的唯一方法,就是框架法,也就是用圆规和直尺在特定的框架内作出一个其函数值极为近似于2的立方根所对应的角的三角函数值,通过这个已被确定数据的角所构成的直角三角形,其邻边和斜边的各自的立方就存在着这种具有2倍体积的密切关系。通过这种解题方法所得出的解题结果,是依随着一个已被确定的框架法数值作为先决条件,是一种结果在前,方法在后特殊解题形式,所以说,在通过框架法数法所取得的这一解题结果,是不需要对其加的任何证明的。
　　结 论:
　　在通过以给定的线段为定长所组成的正方形框架中,利用圆规和直尺所得出的一条线段是:“该线段的立方是给定线段的立方的2.00228倍。对于这一解题结果来讲,还没有完全达到绝对的2倍值,只是一个近似值,其误差值仍保留在千分之一的水平上,不过,在目前看来,能够达到这一水平标准,也是实现这一问题的最大极限,也是实现了太阳神阿波罗预言以来的一个长期梦想。从而使这个已被定论为不可能的问题,便成为可能的理论现实。”