数学思想是数学教学的核心_核心数学思想

　　一般来说，数学教材中蕴含着两条主线：一是按逻辑体系编排的知识所构成的显性主线，它是数学学科的外在形式，也是教师教和学生学的主要依据；另一条是数学的思想方法，它蕴含于知识的发生、发展和应用过程中，是隐性主线，它是数学发展的内在动力，是数学知识的“灵魂”。数学的核心要素是知识中蕴含的数学思想，不管是新授课、练习课还是活动课等，都是在单元核心思想指导下使不同课型体现不同的思想功能，体现不同的育人价值。在教学过程中，教师要有意识地挖掘和提炼知识发展过程中所蕴涵的这些思想和方法，有意识地运用这些数学思想和方法，使学生不仅在学知识，更是在学习数学的思想和方法，学习数学的本质和灵魂，这才是真正学习数学的本领。
　　下面就以苏教版五年级《圆》这个单元为例，谈谈自己的一些做法。
　　一、新授课，有效设计教学，感受数学的思想与方法
　　新授课的特点是“新”，新技能、新知识、新方法等，因此，教师要采取有效的方法，让学生能正确、清楚地感知教材，掌握知识，学会方法。《圆》这一单元蕴含的主要数学思想是无限逼近思想、运动变化思想、转化思想等，确立了本单元的核心思想，展开的新授课《圆的认识》、《圆的周长》、《圆的面积》等就应该围绕这几种思想进行教学。
　　在《圆的认识》新授课中，圆的定义通过用圆规画圆，结合圆规运动的过程把圆描述为一动点以一定点为圆心，定长为距离运动一周的轨迹，也可结合操场画圆描述为当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆，要让学生感受到运动变化的过程。还可设计画正多边形的方法来探究圆的形成，渗透无限逼近的思想等。
　　圆周率的推导可以用正多边形边长和与外接圆直径的比值来探究，当正多边形边数越来越多时，比值越接近圆周率，这时的正多边形越来越接近圆。这样推导圆周率，渗透的是无限逼近思想。
　　又如圆面积公式推导的时候把圆转化为近似长方形，既有转化的思想，又渗透着无限逼近的思想，使学生认识到物质世界是运动的、变化的、可以相互转化的，数学就是研究这些现实世界的空间形式和它们之间数量关系的一门科学。
　　二、练习课，灵活运用习题，巩固数学的思想与方法
　　数学题千变万化，题目数不胜数，如果都一一去做，既不可能也无必要，关键在于教给学生学会灵活分析的方法，掌握解题的规律。特别是我们平时的练习课，很多老师把它上成做作业课，做过讲或讲过做。这样呆板、机械的练习，只会抑制学生思维的发展。如果把静态的习题变为动态的操作题，把单一解题变成灵活的问题，不但能够提高学生的解题能力，巩固数学的知识与思想方法，还能提高学生的综合实践能力。
　　以苏教版《圆的面积》练习课为例，107页的练习十九第7题：下图（图1、图2、图3）“三个正方形的边长都是3厘米，涂色部分的面积相等吗？为什么？”本题的设计意图是通过计算或观察，总结出三个图形的涂色部分面积相等。学生通过计算或观察都能够总结出涂色部分面积相等，但是解决问题的策略往往只知道用正方形面积减去空白面积，只停留在表层，没有深入到解决问题的本质上去，也没有得出规律性的东西。
　　我是这样教学的：只出示图1，让学生求出阴影部分的面积，然后引导学生总结规律：你能在这个正方形中画出比这个圆更大的圆吗？学生怎么也画不出比这个圆面积更大的圆了，最后得出：正方形中最大的圆是直径等于正方形边长的圆。
　　规律得出来以后，我并没有就此罢休，把它作为解决下面问题的依据。要求学生发挥各自的想象力，动手设计出正方形减去一个最大圆面积的图形，并要说出是怎么画出来的。学生们兴致盎然，积极性非常高涨，画出了十几种美丽的图案（从图2往后的都是学生自己设计出来的），
　　
　　不少孩子是用 整个图形的1/4进行旋转、翻转、平移、对折等变化而来，这里运用了转化的思想、运动变化的思想、等级变形的思想、求同思想、求异思想等，收效很好。
　　通过这样的教学，学生学到的何止是探讨三个图形涂色部分的面积相等，更有如何去探索数学规律，如何应用数学规律去创造数学，去创造数学美。所以，抓住本单元的核心要素有效开发习题，灵活运用习题进行巩固练习，可以锻炼孩子的灵活性思维，孩子们学到的是数学思想和方法，学到的是数学能力、空间想象能力、动手操作能力、手脑并用能力，感受到的是几何世界的多彩性、丰富性，享受着数学世界的的美。
　　又如，第110页的第10题：
　　刘大爷用15.7米的篱笆靠墙围一个半圆形的养鸡场（如左图）。这个养鸡场的面积是多少平方米？
　　
　　本题的设计意图是运用圆周长解决生活中的实际问题，根据书上提供的信息学生很容易解答出来，但是学生解答完这个题目以后，并不会留下深刻的印象，并无利用圆周长解决生活中的实际问题的意识。
　　于是我进行了改编：抽象的的文字全部删除，题目中的数字和图结合起来，变成数形结合，把数字15.7改为18.84，这样便于计算，原来完整的鸡圈图拆成两部分。
　　教学时，先出示第一部分小鸡和墙的图，紧接着出示18.84米长的篱笆。
　　师：同学们，刘大爷要用竹篱笆把这些鸡围起来，你能想到哪些数学问题？
　　生1：鸡圈围成什么形状的？
　　生2：怎样围最美观？
　　生3：怎样围鸡圈面积最大？
　　师：能否给老大爷提些有益的建议呢？
　　生4：我想建议老大爷把鸡圈围成长方形，并且尽量长一些，这样墙可以尽可能多地占用，面积也许会大一些。
　　生5：我反对，墙被占用得多，围的长方形越长，面积会越小，应该是正方形的时候面积最大。
　　师：这就是刚才一个同学提出的怎样围面积最大的问题，等会儿我们具体研究围成什么形状面积最大。
　　生6：我想建议老大爷把鸡圈围成正方形，这样方方正正的，很漂亮。
　　生7：我觉得，如果地方很大的，就把鸡圈围得尽可能大，这样小鸡在里面活动也自由；如果地方较小，靠近路边，就尽可能围成长方形，不影响路边行人走路；如果老大爷爱美，就围成正方形，这样美观。
　　师：你考虑问题很全面，很周到。
　　生8：我想建议刘大爷围成半圆形，半圆形也很漂亮，面积不是太大，也不是很小。
　　师：呵呵！你肯定围成半圆形面积不大也不小？
　　生8：我想是的。
　　师：那就请同学们拿起笔来，算一算，到底怎样围面积最大？围成半圆形时面积是不是不大也不小？
　　通过计算验证，围成半圆形的时候，面积最大。
　　紧接着，我相机引导学生总结：由此，你们还能联想到什么？能够得到什么规律？学生通过讨论、猜想、验证得出：在周长一定的时候，围成的图形中圆面积最大。
　　这样的练习课，学生不仅巩固了运用圆周长和圆面积公式解决生活中的实际问题，而且数学应用意识得到了真正的提高，更重要的是问题意识的提高，解决问题能力的发展，同时通过这样的灵活改变，对学生进行了数学思想和方法的教育，例如，极值思想、运动变化思想（一根绳子可以围成长方形、正方形、圆等）、由分到合的思想、数形结合的思想、数学美的思想、人文思想等等。这样的练习课，使数学知识得到了升华，数学能力得到了提升，数学思想与方法得到了灵活运用和巩固。
　　三、复习课，旧知翻版变新知，升华数学的思想与方法
　　一般的复习课，就是回忆知识、结构整理、查漏补缺，用孩子们的感觉是“烫馊饭”，没有新鲜感，很少新收获。而抓住核心思想进行复习，复习课承担的功能就是温故而知新，旧知翻版变新知。
　　本单元复习，我设计了三个问题：1.通过下面的填空，你发现了什么？2.圆是怎样形成的呢？以前哪些地方也用到运动变化的思想？3.圆的面积是怎样推导出来的？以前还有哪些地方用到过转化的思想和无限逼近的思想？
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文 　　第1题，复习圆的一些基本知识如半径、直径、周长、面积的计算，然后让学生观察它们之间的变化，引导学生用扩大、缩小等知识说出半径、直径、周长、面积之间的变化关系，这个变化关系就是本节课的一个新知点，让学生在温故中知新。
　　第2题，复习圆的特征，让学生复习画圆的过程，体会圆是一个动点以定长绕一个定点运动后形成的轨迹，复习运动变化的思想，同时告诉学生点通过运动可以形成线（这里是曲线）。再让学生回忆，以前还有哪些地方也有运动变化的思想，引导出两直线位置关系结构的运动变化：两直线平行，如其中一条开始旋转，其位置关系结构立即开始变化，平行→相交、交角从略小于180°开始连续减小→垂直→相交、交角继续减小直至略大于0°→平行。几种基本几何图形形状结构的运动变化：长方形一边向对边平移，将变出正方形，接着变回长方形，如该边绕某顶点向对边旋转，逐渐变出梯形、三角形；平行四边形某锐角逐渐增大（想象着挤压它），将变出长方形，接着变回平行四边形，如某边绕某顶点旋转，将变出梯形；菱形可压缩成正方形，正方形可拉伸成菱形。
　　让某一个面平移，正方体可变出长方体、长方体可变出正方体。缩小圆柱某底面面积至0，可变出圆锥。正方体、长方体和圆柱的侧面展开后变成长方形，圆锥的侧面展开后变成扇形。
　　某一面进行旋转或平移后的轨迹，如果是正方形，旋转后的轨迹可以得到圆柱体，如果平移得到的轨迹可以是正方体也可是长方体；如果是圆面，平移后的轨迹是圆柱，如果绕直径旋转后的轨迹就是球体等等。
　　第3题，复习圆面积公式的推导，把圆分割成越来越多等面积的近似三角形、再拼成近似的长方形，渗透了极限运动、转化的思想方法。接着引导回忆在我们学过的内容中，哪些地方运用过这些思想，如一年级的凑十计算法，小数、分数之间的互相转化、分数除法的计算转化为乘法计算、小数乘法转化成整数乘法计算、除数是小数的除法转化为除数是整数的除法、平行四边形面积公式推导、三角形面积公式推导、梯形面积公式推导等等都应用了转化的数学思想。
　　这样的复习课，由一个知识点链接成了一棵知识树，把点变成了线，把线变成了体，把散乱变成有序，把旧知变成了新知。不仅复习了基本知识与技能，还运用本单元的核心思想把整个小学阶段的知识进行了一次梳理。很多知识孩子们以前只知道用来做题解题，但不知道其中蕴含的数学思想，通过复习，这些数学思想以及相关知识在孩子们的头脑中栩栩如生，运用起来更是游刃有余，真正让学生在温故中知新。
　　四、活动课，开放自主扬个性，熔化数学的思想与方法
　　通过新授课、练习课、复习课的学习，学生对本单元主要数学思想的内核已经掌握得比较牢固，运用这些思想解决数学问题也比较熟练了。但是要把这些思想转化为生活运用能力、综合实践能力，转化为数学素养，还有一定的困难，因为这是由知识转化为能力，由量变到质变的过程，也正是当前新课程改革棘手的问题。苏霍姆林斯基说过：要想使知识不再成为死的行囊，使它们自觉地周转起来，只有到实践中去，才能使其转化为孩子们自己的东西。
　　本单元的综合实践活动主题是围绕几种数学思想搜集生活中的格言、警句、成语、名人名言等，只要能够体现本单元极限思想、运动变化思想、转化思想等方面的都可以，不拘形式、不限字数。于是孩子们八仙过海各显神通，搜集的情况如下：
　　体现事物都是运动变化的：“年年岁岁花相似，岁岁年年人不同。”“士别三日将刮目相看。”“少小离家老大回，乡音未改鬓毛衰”等等。
　　体现极限思想的：乔维泰利的《零极限》心理小说、“若不好到至极，就不算伟大。”“每一种事物都有一种极限，超越极限可能带来的是升华或者是灭亡。”“相信自己，坚持自己，极限将被突破，卓越就在眼前，人生终将辉煌。”“欲无极限，祸乱生焉。”“明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。”“创新无极限！只要敢想，没有什么不可能，立即跳出思维的框框吧”等等。
　　体现转化思想的：穷则思变，因祸得福，物极必反，虚心使人进步、骄傲使人落后等等。
　　这样的数学综合实践活动课，是语文和数学的融合，是科学和哲学的融合，是社会和学校的融合，是知识和能力的融合，是教书和育人的融合。学生体会到数学不仅可以用来表达和研究科学，用来解决问题，还可以用来描写人生，感悟做人的准则，激起孩子们对数学的热爱，对生命价值的追求。
　　长期以来，人们总是视数学为工具性学科，只重视数学的工具性价值，把训练学生的基本技能、基础知识作为数学教学的唯一目标，有时竟变成一种空洞的机械解题训练，把学生的生活空间挤压在分数的争夺上，学生的情感和精神生活在机械训练中逐渐萎靡，创造性退化。这种工具性教学，忽略了数学的文化教育价值。如果我们抓住数学的核心思想，不同的课型承担着不同的功能，就能使数学课堂从多侧面多视角展现数学文化的魅力，用数学的思想提升学生的文化素养，从科学的数学走向文化的数学，使数学课堂折射出数学之美，折射出人生价值。
　　（陈家梅，泗阳双语实验学校，223700）
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