【向量在高中数学中的运用】向量在高中数学中的应用

　　向量是高中数学课本中新增知识的一部分，它作为现代数学重要标志之一引入了中学数学。但由于向量概念的抽象，公式的相对孤立，特别是讲完向量后大部分同学在做题目时很少会用到向量，从而使向量成为一个十分有限的解题工具。平面向量具有几何形式和代数形式的双重身份，能够把向量的非坐标公式和坐标公式进行有机结合，在解题时我们特别需要注意“数”与“形”的相互转换。而纵观近几年的高考我们发现有许多高考题都会用到向量，并且应用向量还能简化解题步骤，不失为一种简单、实用的方法。下面我们就举例说明，向量在数学的不同领域的应用。
　　一、向量在不等式中的运用
　　例1：已知：x+y+z=1，求x2+y2+z2≥■。
　　解：设■=（1，1，1），■=（x，y，z），则|■|= ■，|■|=■，■・■≤|■||■|，即■・■=x+y+z≤■■，又x+y+z=1，故得x2+y2+z2≥■。
　　例2：已知x1，x2，y1，y2∈R，求证(x1x2+y1y2)2≤(x12+y12)(x22+y22)。
　　解：设■=（x1,y1），■=（x2,y2），则■・■=x1x2+y1y2，由|■・■|≤|■||■|，得(x1x2+y1y2)≤■■，即(x1x2+y1y2)2≤(x12+y12)(x22+y22)。
　　例3：已知m，n，x，y∈R，a，b∈R＋且m2+n2=a，x2+y2=b，求mx+ny的最大值。
　　解：设■=（m，n），■=（x，y），则|■|=■，|■|=■，由■・■=mx+ny=■■cos?兹≤■，得mx+ny的最大值为■。
　　二、向量构造法求值域
　　例1：已知f(x)=■+■，求f(x)的值域。
　　解：设■=(■,■)，■=（1，1），-1≤x≤1，则|■|=■，|■|=■，设?兹为■，■所成的夹角，0≤?兹≤■，则■・■=■+■=|■||■|cos?兹，即■+■=2cos?兹，?兹∈[0,■]，又因为cos?兹∈[■,1]，故得■≤■+■≤2。
　　例2：已知y=■+■，求f(x)的值域。
　　解：设■=(■,■)，■=（■，1），则|■|=1，|■|=2，设?兹为■，■所成的夹角，0≤?兹≤■，则■・■=■+■=|■||■|cos?兹，得■+■=2cos?兹，因为■≤cos?兹≤1，所以1≤■+■≤2。
　　三、向量在三角中的运用
　　例1：求证：cos(?琢-?茁)=cos?琢 cos?茁+sin?琢 sin?茁。
　　证明：设■=(cos?琢，sin?琢)，■=(cos?茁，sin?茁)，|■|=
　　|■|=1，■与■的夹角(?琢-?茁)，则■・■=cos?琢 cos?茁+sin?琢 sin?茁=|■||■|cos(?琢-?茁)=cos(?琢-?茁)。
　　例2：已知cosA-cosB=■，sinA-sinB=-■，求cos（A-B）。
　　解：因为cos（A-B）=cosAcosB+ sinAsinB，故可设■=（cosA，sinA），■=（cosB，sinB），则|■|=1，|■|=1，■-■=（cosA-cosB，sinA-sinB）=（■，-■），|■-■|2=■+■=1+1-2■・■=■，解得■・■=■，故cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB=■・■=■。
　　四、向量在平面几何中的应用
　　求证：三角形的三条高交于一点。
　　■
　　证明：已知三角形ABC，且有AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD、BE交于H，由■・■=0，得(■-■)・■=0 ，■・■-■・■=0 ①，由■⊥■，得(■-■)・■=0，■・■-■・■=0②，由①-②得，■・(■-■)=0，即■・■=0，故CH⊥AB，三角形ABC的三条高交于一点。
　　五、向量在解析几何的运用
　　例1：已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M（x0,y0）的切线方程。
　　解析：设P(x，y)是切线上任意一点，圆心为O（0，0），则■⊥■，■・■=0即有（x0,y0）・(x-x0,y-y0)=0，x0(x-x0)+y0(y-y0)=0，亦即x0x+y0y=x02+y02，因为点（x0,y0）在x2+y2=r2上，所以x0x+y0y=r2，即过圆x2+y2=r2上一点M（x0,y0）的切线方程为x0x+y0y=r2。
　　例2：过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，自A、B两准线作垂线，垂足分别为A′、B′，求证：∠A′FB′=90°。
　　解析：易知抛物线的焦点F(■,0)，设A、B两点的纵坐标分别为y1,y2，由结论知y1y2=-p2，又A′(-■,y1),B′(-■,y2)，则■=(-p,y1)，■=(-p，y2）故■・■=p2+y1y2=p2-p2=0，则■⊥■，即∠A′FB′=90°。
　　例3：已知椭圆■+■=1的焦点为F1、F2，点P为其上动点。问：当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围？
　　解：易知椭圆的焦点坐标为F1(-■,0)、F2(■,0)。设点P（x，y），则由向量内积的定义知，∠F1PF2为钝角的充要条件是■・■＜0。
　　∵■=（-■-x，0-y）,■=（■-x，0-y），
　　∴（-■-x)（■-x)+(-y)(-y)＜0，
　　∴x2-5+y2＜0。
　　又∵■+■=1，代入上式，
　　解得-■＜x＜■。
　　例4：已知点C坐标为(0，1)，A、B是抛物线y=x2上不同于原点O点的相异的两个动点，且■・■=0，求证：AC∥AB。
　　解：设A(x1，x12)，B(x2，x22)，其中x1≠0，x2≠0，x1≠x2，由■・■=0，得x1x2+x12x22=0，x1≠0，x2≠0，x1x2=-1。因为■=(-x1，1-x12)，■=(-x2，1-x22)，得(-x1)(1-x22)-(-x2)(1-x12)=(x2-x1)+x1x2(x2-x1)=(x2-x1)-(x2-x1)=0，所以■∥■，即AC∥AB。
　　综上所述，向量作为一种既有大小，又有方向的量，既具有形的特性，又有数的特性，因而成为联系数和形的有力纽带。我们发现，向量已经成为函数、三角、数列、不等式许多重要内容的交汇点，在解题时，我们可以通过构造向量处理许多代数问题。
　　（责编 张晶晶）
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