【蚂蚁怎样走最近】

　　有这样一个有趣的问题：如图1所示，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面半径等于3cm.在圆柱的下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A相对的B点的食物，需要沿圆柱的侧面爬行的最短路程是多少？（?仔的值取3.）
　　
　　这个问题最终解决，是把圆柱的侧面沿着它的一条母线剪开展成一个长方形（如图2所示），从而把曲面上的路线问题转化为平面上A、B两点间的路线问题.像这种将空间问题转化为平面问题的方法，对发展我们的空间观念是很有好处的.
　　
　　上面我们规定蚂蚁必须沿圆柱的侧面从A到B，那么无论圆柱的形状如何，上述的走法路线一定是最短的.但是，如果问题没有规定，结论就不一定了.例如：我们把圆柱的形状加以改变：高是7厘米，底面半径为8厘米，此时从A到B的最短路线还是图2中的线段AB吗？
　　我们可以很容易算得AB= =25，但是，若从A沿着圆柱母线以上底面的C，再到B，这时蚂蚁所走过的距离为AC+CB=7+8×2=23.图2中的线段AB已经不是从A到B的最短路线了，为什么会这样呢？
　　其实把圆柱展开，点B的对应点是不唯一的，如图3所示，B1、B2都是圆柱上B点的对应点.所以在把圆柱中由A到B这样一个曲面路线问题转化为平面上的路线问题时，应考虑到A、B两点间的线段是不唯一的，A、B间的最短路线问题，应通过比较AB2、AB1的长度进而做出判断.
　　
　　看来，这个“最短路线”与圆柱的形状有关，也就是说，圆柱的高h与底面半径r的大小关系会影响最短路线的选择.下面我们做进一步的探讨：
　　一般的，我们设圆柱的高为h，底面半径为r，则：
　　
　　当h= r时，AB2=AB1，此时最短线路为AB1或AB2.
　　其实，在这个问题中，对于AB2，大家不难想到，而对于AB2的考虑又能很好地巩固圆柱的表面展开图，发展大家的空间观念，更能使得问题的考虑变得全面.
　　下面我们把圆柱换成长方体，再来讨论“最短路线”的问题：
　　 例：如图4所示，有一个长方体，它的长、宽、高分别为5、3、4.在点A"处有一只蚂蚁，它想吃到与点A"相对的C点的食物，沿长方体表面需要爬行的最短路程是多少？
　　
　　若把长方体的6个面分别称为上面、下面、前面、后面、左面、右面，显然，从A"到C的最短路线一定是从A"出发，经过长方体两个面到达C.具体来说，它可能有“前上”、“前右”、“左上”、“左后”、“下右”、“下后”6种不同的情况（当然，“下右”、“下后”2种情况，在实际问题中不具有可行性）.在这6种情况中，共有3种长度结果：
　　
　　对于这个问题我们还可以做进一步的推广，设题中的长方形长、宽、高分别为a、b、c，且a＞b＞c.则最短路程应为 ，路线应为以长为折痕展开图中的线段AC1或AC2（即图5中的线段AC1或AC2）.省略
　　
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