奇偶函数的性质及其应用:
一、知识点总结 奇偶函数的性质 1）若函数f（x）是定义在区间D的奇函数，则具备以下性质： a.定义域关于原点对称，即：若定义域为[a,b]，则a+b=0;
b.对于定义域内任意x 都有f（-x）=-f（x）；
c.图像关于原点（0,0） 对称；
d.若0∈D则f（0）=0;
e.奇函数在关于原点对称的区间具有相同的单调性。
2）若函数是定义在区间D的偶函数，则具备以下性质：
a. 定义域关于原点对称，即：若定义域为[a,b]，则a+b=0;
b.对于定义域内任意x都有f（-x）=f（x）=f（|x|）；
c.图像关于y轴对称；
d.偶函数在关于原点对称的区间具有相反的单调性
二、奇偶函数性质的应用
热点题型一：利用奇偶性求参数的值
例1 已知f（x）=ax2+bx是定义在[a-1,2a]的偶函数，那么a+b的值为 .
解：∵f（x）是定义在[a-1,2a]的偶函数，∴b=0
a-1+2a=0， 解得b=0,a=
故a+b=.
点评：对于多项式型的函数f（x）=a1xn+a2xn-1+…+an，若f（x）为奇函数，则应只保留x的奇次项，若为偶函数则应只保留x的偶次项.故b=0，又奇偶函数定义域关于原点对称，故a-1+2a=0.
例2 已知函数f（x）=是定义在R上的奇函数，求a的值.
解法一：∵f（x）是定义在R上的奇函数
∴f（x）=0，
即：=0，∴a=1
解法二：∵f（x）是定义R在的奇函数
∴f（-x）=-f（x）
即：=-
整理得（2a-2）（2x+1）=0
∴2a-2=0
解之得a=1
点评：对于奇函数f（x），若0∈f（0）定义域，则此性质可大大减少运算量。故首选f（0）=0，若0?埸定义域，再考虑f（-x）=-f（x），利用恒等式求解。
热点题型二：利用奇偶性求函数解析式
例3 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x（1+x）求出函数的解析式。
解：当x0
∵当x≥0时，f（x）=x（1+x）
∴f（-x）=-x（1-x）
∵f（x）是R上的奇函数
∴f（x）=-f（-x）=x（1-x）
∴f（x）=x（1+x），（x≥0）x（1-x），（x （2）
综合（1）（2）得
热点题型四：利用奇偶函数图像解题
例5 已知f（x）是定义在R的偶函数且f（2）=0，在区间[0，+∞)递增，求f（x）的解集 .
分析：做出符合条件的一种图形，偶函数的图像关于 y轴对称.如：
点评：奇偶函数具有对称性，因此作图时，可以先做出y轴右边的图象，在根据对称性画出y轴左边的图像，就可得出整个定义域内的图像.
热点题型五：奇偶性与对称性周期性相结合解综合型题
例6 已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），且在区间[0,2]上是增函数，则（ ）
A.f（-25）
∴f（-x）=-f（x）
∵f（x-4）=-f（x）
∴f（x-4）=f（x）
∴的图像关于直线x=2对称
又f（x）的图像关于点（0,0） 对称
∴f（x）是周期函数且最小正周期T=4（2-0）=8
f（-25）=f（-1），f（80）=f（0），f（11）=f（3）=f（1）
∵f（x）在 [0,2]是增函数
∴f（x）在[-2,0] 上是增函数
∴f（-1）
点评：本题综合的函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性，在知识的交汇处命题，考察了了学生的综合应用能力。关于函数性质的综合应用，常用的结论有：1）若函数f（x）关于直线x=a，x=b对称，则f（x）为周期函数，且最小正周期T=2b-a.
2）若函数f（x）关于点（a，0），（b，0）对称，则f（x）为周期函数，且最小正周期T=2b-a.
3）若函数f（x）关于点（a，0），直线x=b对称，则f（x）为周期函数，且最小正周期T=4b-a.