汇率【混沌和汇率（二）】

　　摘要:本文分析了连续时间的汇率模型的稳定性等理论特性,并用意大利数据计量估计本模型的连续时间,检验可能存在的混沌运动,而且指出对已建立非线性微分方程组的经济模型进行连续时间估计是一个非常有用的专业工具。
　　关键词:混沌 汇率 叠代数据程序 连续时间计量经济学
　　1、关于稳态的线性化
　　为了后面的分析,在模型的稳态附近对模型作一个近似是方便的,这可以引入一个新的变量来得到线性近似,定义为稳态的对数化偏离,即
　　(1)
　　其中和带星号的值和上面方程式中相同。线性近似的结果是以下线性矩阵:
　　Dx=Ax
　　其中
　　(2)
　　特征值方程式是
　　(3)
　　由于没有满足稳定条件,所以,这个矩阵存在局部不稳定,因为它有一个实正根,而其它两个根具有稳定性。这可能就是标准的鞍点形态,但在目前并没有假设的理性预期的模型中,我们不能依靠标准“跳”到鞍的稳定一边。因此,模型仍然是不稳定的。无论如何,这只是一局部结果:为了研究整体动态,并因此获得一个可能的混沌思想,我们首先将估计初始非线性微分方程模型参数,然后求解模型来获得充足数量的数据以检验可能的混沌状态的存在。
　　2、实证结果
　　2.1 参数估计和模型解
　　模型由下面三个微分方程式组成:
　　(4)
　　(5)
　　(6)
　　(4)、(5)和(6)等方程中,包含、、三个内生变量,假设外生变量为、、、。模型用连续时间序列进行了非线性估计,运用的是Wymer的ESCONA程序,采集的是1970年到1998年M3的月度数据。除了意大利的利率取自于BANCA D’ITALIA月度公报外,所有的数据都来自IFS数据库（被假定等于购买力平价值）。所用的汇率是里拉对美元（lira/$）。
　　下表给出了参数估计
　　所有参数都有预期迹象,并具有很高的显著性。许多评论与这些估计一致。
　　首先,价格方程式的调整速度（）是很低的,这意味着来自国外的通货膨胀压力只是很慢地传导到国内价格。从定性上看,这个结果与用非线性连续时间计量经济模型估计意大利经济的结果是一致的。第二,基础分析者预期的调整速度（）是相当高的:这些代理人期望下一个时期能消除现期汇率与它的长期均衡值之间约60%的差距。在DDE模型中,假设两个调整速度相等,这个假设对意大利经济来说似乎证据不足。
　　把这些参数代入稳态线性近似(29)中,得如下特征值:
　　,
　　这确认了我们理论上的结果。
　　然后,我们把参数估计值代入初始非线性微分方程组中并求解。为了获得足够的数据点,我们在样本估计周期中已经生成了每日数据。获得任何时间区间模拟数据的可能性,而不仅仅是数据中固有的时间单位,是连续时间模拟的优势之一。
　　图1 观察到的每日汇率
　　既然我们有对汇率的每日观察(承蒙意大利金融情报中心（UIC）允许),那么就可以比较实际值和计算值。尽管我们的主要目的不是获得好的匹配,但还是高兴地指出:从图1和图2就会知道,方程的解非常接近实际数据。事实上,观察值和计算值之间的相关系数是0.977,而RMSE（根据观察值表示误差）是0.0706（或大约7%）。因此,尽管模型简单,但它显然代表了一个好现象,这一点既支持我们的理论化又支持构建连续时间计量经济学模型。
　　2.2 混沌检验
　　(1)第一步,我们通过各相位图去寻找一个“奇异吸引子”。图3中的点与相对,而图4中的点与相对。这两个相位图是非常相似的,并没有出现结构上的差别。似乎没有一个点,序列围绕这个点演进,并无限次数地接近和离开这个点。相反,这些值非常接近,且明确的闭合轨道或者周期性运动似乎并不存在。如果延长相位图的时间区间,那么就可能得到封闭式的图形,但我们不能清楚地把它们归为“奇异吸引子”。因为当数据包含这样的“奇异吸引子”时,这与时间区间变化时完全相似,这样的特征并不存在。然而,因为它取决于印象而不是取决于数量估计,这个检验几乎得不到什么结论。
　　(2)计算功率谱,对数线刻度上呈直线的功率谱被认为是混沌的特征。事情显然不是这样的。数量检验是建立在相关性维数和李雅普诺夫指数之上的。
　　(3)进行相关性维数估计的GP运算法则要求在图形中出现高度平稳。这里维数的对数与半径的对数相对。
　　图3 相位空间图()
　　图4 相位空间图(),
　　由于这样的稳定并不存在,维数估计是不可靠的。总而言之,注意相关性维数计算只是混沌吸引子存在的一个必要但不是充分的条件。因为非线性非混沌随机系统也能够显示这一特性。
　　(4)可论证的是,李雅普诺夫指数是混沌存在的唯一检验指标。李雅普诺夫指数是计算附近相位空间分形(SDIC)轨道的比率。混沌轨道至少有一个正的李雅普诺夫指数。
　　3、叠代数据程序
　　现在,我们看一下我们认为是检验过程中最重要的步骤,这个步骤在大多数的经济研究中的检验中被忽略了。这一步骤就是数据处理（叠代）过程。基本思想就是从原始数据获得同样分布特性但除去非线性自变量的新数列。然后,这些数量检验被应用于叠代序列去检验它们是否给出与应用于原始序列一样的结果。如果结果相同,我们就应该怀疑结论的准确性。
　　按照将原始数据“洗牌”后得到新数据,Scheinkman and LeBaron建议使用“洗牌特技”。这种操作可以消除原始数据中任何可能的决定论。其他作者建议使用更复杂但更可靠的程序,这一程序保留功能谱和相关性函数1,从而叠代序列有与原始数据一样的同次线性依赖,但所有非线性依赖已经被消除。如果对原始序列检验的正面结果在叠代序列检验中仍是显而易见的,那么结果很可能归因于数据的线性依赖。相反,如果两套数据之间的结果不同,那么就应归因于原始数据的非线性和可能混沌依赖。
　　依据这两个程序,我们在叠代数据中获得了一个大约是4的相关性维数和正的最大化李雅普诺夫指数。因此,我们得出结论:在任何情况下,从原始数据中获得的相关性维数和正的最大化的李雅普诺夫指数不能被认为是混沌动态的证据。