优化解析几何中运算的四个策略 解析几何解题策略

　　浙江萧山中学311201 　　 　　摘要：在解析几何的学习中，“怕运算”是学生普遍存在的问题. 通过对学生在运算中所遇困难的剖析，我们发现学生在运算中存在着这样一些问题：缺少对复杂运算的处理办法，缺少对算理的推敲，缺少简约的运算习惯，缺少监控运算过程与结果的意识与方法. 为此我们提出了一些优化措施，归结为四个策略：学习“整体设元”方法，提高运算效率；养成反思习惯，优化运算方案；树立简约意识，减少运算失误；利用 “数形结合”，监控运算过程.
　　关键词：解析几何；运算；整体设元；反思；简约意识；数形结合
　　
　　[⇩]学习“整体设元”方法，提高运算效率
　　“整体设元”实质是一种整体处理的方法，将一个或几个繁杂的式子设为整体元，利用整体元代替式子先参与运算，然后，或单独代入，或利用韦达定理等办法，“设而不求”，以两根之积、两根之和的形式整体代换. 因简化了运算，所以节省了不少的运算时间，提高了运算的效率.
　　例1 已知圆C：（x+4）2+y2=4，圆D的圆心D在y轴上且与圆C外切，圆D与y轴交于A，B上下两点. 定点P的坐标为（－3，0），当点D在y轴上运动时，求∠APB的最大值．
　　[A][D][C][P][B][x][y][O]
　　图1
　　分析 这是我们高二的一个期中考试题，从统计的情况来看，得分率很低. 深入分析，我们发现许多同学一般都设圆心D的坐标为（0，a），则半径r=－2 . 将∠APB看为直线PB到直线PA的角，则有tan∠APB=，而kPA=，kPB=. 显然将这两个式子代入，运算就太繁了，这也是很多同学解不下去的原因. 解决的办法是整体设元，先用r参与运算，kPA=，kPB=，代入tan∠APB的式子得tan∠APB==. 但此时若把r给代了，依然有较大困难，试着从r=－2寻找突破，变形为a2=（r+2）2－16，代a2问题就能得到很好的解决.
　　
　　[⇩]养成反思习惯，优化运算方案
　　学生解题后缺少反思，是一种常见病，解解析几何题也是如此，其实这样恰恰错过了提高运算能力的一次很好机会. 在实际教学中，我们发现，第一遍解题，“或多或少”会走些弯路. 只有在解完了题，面对答案，重新审视解题过程时，脑子才会有一种突然清晰的感觉，许多原来困惑的东西变得通畅，知识与知识的联系也变得越来越广泛，想法也变得越来越多. 此时，在比较中，最优的方案才可能诞生.
　　例2 已知k∈R，求两条动直线kx－y+2（k+1）=0和x+ky+2（k－1）=0的交点P的轨迹方程．
　　分析 根据题意联立方程组解出交点P的坐标：x=－
　　，
　　y=－
　　.比较x，y两个式子，作如下变形
　　=
　　－
　　，
　　=
　　+
　　，则可知
　　=
　　，
　　=
　　.仔细观察，利用两式平方相加的办法，得到
　　2+
　　2=1，即x2+y2=8.
　　反思整个解题过程，可知解法的最终目标就是建立起交点P的坐标x，y的关系式，且消去k． 围绕这一目标，作一个大胆的设想，能否直接在两直线方程中消k，建立x，y的关系式呢？事实上是可行的，在两方程中，分别得k=与k=，两式相等，得=. 又因为交点P的坐标满足两直线方程，所以我们将直线方程中的x，y理解成交点P的坐标x，y，所以建立的方程即所求的轨迹方程.
　　面对结论，我们再作进一步反思，P为何在圆上运动？回到两条直线方程，第一个：kx－y+2（k+1）=0，直线过定点A（－2，2），斜率为k；第二个：x+ky+2（k－1）=0，直线过定点B（2，－2），斜率为－，两直线垂直！交点P不正好在以AB为直径的圆x2+y2=8上. 当此，最优方案才算真正找到．
　　[y][x][B][A][O]
　　图2
　　
　　[⇩]树立简约意识，减少运算失误
　　学生在运算中，有时会出现直线方程代入圆锥曲线方程等一些简单的运算错误. 在实践中，我们认为要纠正这些错误，就应让学生树立简约意识，让运算在不容易发生失误的情形下进行.
　　例3 已知圆C：x2+y2－2x－2y+1=0，直线l与圆相切，并与x，y轴交于A，B两点，|OA|=a，|OB|=b（a>2，b>2），求证：2a+2b=ab+2．
　　分析因a>2，b>2，所以A，B均在正半轴上，则A（a，0），B（0，b），直线方程为+=1. 因直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径长. 接下来，大家比较两种不同的处理方法：第一种，不对直线方程化简，直接列出等式为=1；第二种，先将直线方程化为bx+ay－ab=0，列出等式为=1. 显然，第二个式子在后面的化简过程中会少出错.
　　在解析几何的运算中，树立简约意识，尽可能把分式化整式，能因式分解的先因式分解. 平时，如涉及直线y=k（x－1）+1与椭圆+=1的交点问题，应先把椭圆方程化为b2x2+a2y2－a2b2=0，直线方程化为y=kx+1－k，再将直线方程代入椭圆方程；若点P在直线x－2y+4=0上，就可把该点设为（2y－4，y），等等. 运算也需要有预见性，要为后面的运算尽可能地提供方便. 只有这样，学生才能减少不必要的失误，保证解题的顺畅，把宝贵的时间用到更重要的地方.
　　
　　[⇩]利用 “数形结合”，监控运算过程
　　在学生的运算中，失误有时是很难避免的，但关键要让学生有机会发现问题. 在实践中我们指导学生画图，利用数形结合的办法，及时审查自己得到的结论，帮助他们尽早发现并纠正错误.
　　例4 讨论直线y=kx+1与双曲线x2－y2=1的交点个数．
　　分析 建立方程组，考察方程组解的个数，将直线方程y=kx+1代入双曲线x2－y2=1方程得到：（1－k2）x2－2kx－2=0（*）. 讨论：当1－k2=0，即k=±1，此时方程为一解，交点为一个. 当1－k2≠0，又Δ>0，即－时，方程无解，没有交点.
　　课堂上，学生解答此题的错误率是相当高的. 为此，我们指导学生画图象，利用图象，结合方程，检查自己的解题结果. 如图3，不难发现过（0，1）点且与双曲线一个交点的直线有四条（两条平行于渐近线，两条切线），知道这些，再检查解题过程，学生便可顺利地改正错误.
　　[y][x][O]
　　图3
　　运算中监控能力的强弱将直接影响同学们运算的效率，而代数运算与几何画图有机结合，能大大增强学生的自我监控能力. 又比如，有这样一个例题：求过点（1，2），且与圆C：x2+y2=1相切的直线方程. 许多同学设y=k（x－1）+2，利用圆心到直线的距离为半径列出等式，求出一个k值，但忘了k不存在的情况. 分析错误总以为学生粗心了，但我觉得问题的本质不是粗心，一个简单的原因是学生缺少一个有效的监控措施. 如果在平时教学中，教师多强调画图的习惯，结果也许会不一样. 此时，因点（1，2）在圆外，画切线必定两条，现在只算出一条，那么另一条呢？有了一个检验的渠道，学生必定能朝着正确的方向前进.
　　总之，数学运算也是一种能力，要提高这种能力，不能简单地追求题型的重复操练，而应致力促使学生思考：审题时，对条件、问题的思考；设计解法时，对方案优劣的思考；遇到复杂运算时，对简约形式的思考；运算过程中，对中间结果实施监控的思考；运算结束后，对结论及方法的再次审视思考. 运算不是一种孤立的数学能力，提高这种能力更应放到提高学生整个数学能力的视野中去.
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