圆与椭圆交点问题_圆与椭圆交点问题的求解与思考
甘肃永登第二中学 730302 摘要：数学以问题为中心，通过问题的解决可以培养学生的数学思维能力. 在数学教学中，我们应该以数学思想为指导，重视学生数学思维品质的训练，且不可单纯追求数学思维品质某一方面的培养，而淡化另一方面. 教师应恰当地创设问题情境，引发学生的认知冲突，暴露思维过程，让学生参与学习过程，体验知识发生、发展过程并获得成就感，全面训练学生数学思维品质，提高学生的探究能力和创新能力. 本文就以圆与椭圆的交点问题为例，通过两种不同的解题方法说明学生数学思维培养的点滴感受.
关键词：数学思维；培养；能力；品质；探究；创新；创设；暴露；引发
通常，我们把两曲线的交点问题转化为求方程组的公共解问题. 这种方法符合我们解题的思维习惯，但是也容易形成思维定式，产生一些难以觉察的错误. 假如我们善于利用这些“错误”创设教学情景，引发学生的认知冲突，暴露思维的过程，同时进行启发、点拨、引导和拓展，就会有利于学生严密逻辑思维的形成，也有利于学生思维深刻性、广阔性以及学生探究能力的培养. 因此，我们不可低估数学化归思想对促成数学思维的作用. 当然，在具体的解题情景下，两曲线的交点问题亦可以用数形结合方法来解. 以数形结合思想为指导，动态地观察两曲线的位置关系，破解问题，获得答案. 这就要求我们合理调整思维视角，尝试用不同的方法解决问题，培养思维发散性、灵活性和敏捷性，进而培养创新能力. 现就上述两种不同的解题情况分析如下：
[⇩]呈现问题，创设情境
例若圆（x－a）2+y2=9与椭圆+=1有公共点，则实数a的取值范围是（）
[⇩]暴露思维，引发冲突
错解由题意知（x－a）2+y2=9，
+
=1，
消y得5x2－18ax+9a2－45=0，即f（x）=0. 因为Δ=36（4a2+25）>0，所以a∈（－∞，+∞）. 故选A.
冲突当a=±7时，圆（x∓7）2+y2=9与椭圆+=1无公共点. （如图1）
[y][x][7][3][-3][-7][O]
图1
[⇩]分析讨论，解剖错因
讨论方程5x2－18ax+9a2－45=0在x∈R时有解，能否在x∈［－3，3］时有解？
错因忽视了隐含条件x∈［-3，3］，y∈［-2，2］.
剖析方程组有解，说明公共解一定满足两个方程，即必须x∈［-3，3］，y∈［-2，2］.
因此，原命题⇔f（x）=0在［-3，3］内有根.
[⇩]整理归纳，探究正解
正解一：
1. 方程f（x）=0在［-3，3］上有两根⇔
f（3）>0，
f（－3）>0，
x=∈（－3，3）⇒a∈. （如图2）
疑惑为何对称轴直线：x=∈（－3，3），并非x=∈［－3，3］？
释疑因为Δ=4a2+25>0，所以抛物线f（x）与x轴交于两点. 当x==－3或3时，方程f（x）=0在［－3，3］上只有一根.
2. 方程f（x）=0在［－3，3］上只有一根⇔
f（－3）・f（3）≤0⇒a∈［－6，6］.（如图3）
[y][f（-3）][3][f（3）][-3][x][图3][O]
综合1、2知a∈［－6，6］. 故选B.
正解二：画图，结合图形观察. 当动圆圆心M（a，0）落入区间［-6，6］内时，两曲线定有交点.
故a∈［－6，6］. 故选B.（如图4）
[y][x][6][O][-6]
图4
疑惑当圆M在椭圆内部运动时，是否一定与椭圆有交点？
释疑因为椭圆短半轴长小于圆M的半径，所以圆M在椭圆内部运动时，两曲线一定有交点.
[⇩]总结反思，延伸拓展
1． 反思
正解一虽然烦琐，但综合了曲线方程以及一元二次方程根的分布等知识. 这些知识是高考重点考查的知识点. 我们不能就题做题，陷于题海；或者因其复杂而轻易地抛弃这种解法，而应充分发挥该题的综合及整合作用，梳理知识，拓展知识. 这样更容易使学生由知识积累向能力发展迁移，有利于学生数学思维深刻性、广阔性、逻辑严密性以及数学探究能力的培养. 当该题转变为解答题时，仍不失为一种好的方法. 对选择题而言，正解二更迅捷、更有效. 同时，正解二体现了数学思想对解决问题的指导作用，对学生数学思维灵活性、敏捷性以及批判性的培养有着重要的意义.
2． 拓展
（1）若圆（x－a）2+y2=4与椭圆+=1有公共点，求实数a的取值范围；若无公共点，求实数a的取值范围. 两种情况下，两条曲线有怎样的位置关系？
分析由题意知（x－a）2+y2=4，
+
=1，
消y得5x2－18ax+9a2=0，
即g（x）=0，且Δ=144a2≥0.
两曲线有公共点⇔（x－a）2+y2=4，
+
=1
在x∈［－3，3］，y∈［－2，2］有解
⇔g（x）=0在［－3，3］上有根
⇔方程g（x）=0在［－3，3］上有两根或一根
⇔g（3）>0，
g（－3）>0，
x=∈（－3，3） ⇒a∈（－1，1）. （如图5）
[y][g（-3）][x=][-3][g（3）][x1][x2][3][x][O]
图5
或g（－3）・g（3）≤0⇒a∈［－5，-1］∪［1，5］（如图6）.
综上，a∈［－5，5］.
[y][g（-3）][3][g（3）][-3][x][O]
图6
若两曲线无公共点，则为原命题的逆否命题.
故得a∈（－∞，－5）∪（5，+∞）.
由上述分析知两曲线位置关系如下：
Ⅰ． 相交
①当a∈（－5，－1）∪（1，5）或a=0时，两曲线有两个公共点（如图7）.
[y][x][5][O][-5]
图7
②当a∈（－1，0）∪（0，1）时，
两曲线有四个公共点（如图8）.
[y][x][5][O][-5][-3][3]
图8
③当a=±1时，两曲线分别有三个公共点（如图9）.
[y][x][5][O][-5][-3][3]
图9
Ⅱ. 外切
当a=±5时，两曲线分别有一个公共点（如图10）.
[y][x][5][3][O][-5][-3]
图10
Ⅲ. 外离
当a∈（－∞，－5）∪（5，+∞）时，两曲线没有公共点（如图11）.
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文 [y][x][5][3][O][-5][-3]
图11
（2）若圆（x－a）2+y2=1与椭圆+=1有公共点，求实数a的取值范围；若无公共点，求实数a的取值范围. 两种情况下，两条曲线有怎样的位置关系？
分析由题意知（x－a）2+y2=1，
+
=1， 消y得5x2－18ax+9a2+27=0，
即q（x）=0，且Δ=36（4a2－15）≥0.
两曲线有公共点⇔（x－a）2+y2=1，
+
=1
在x∈［－3，3］，y∈［－2，2］有解
⇔q（x）=0在［－3，3］上有根
⇔方程q（x）=0在［－3，3］上有两根或一根
⇔q（3）>0，
q（－3）>0，
x=∈（－3，3），
Δ≥0⇒a∈. （如图12）
[y][q（-3）][x=][-3][q（3）][x1][x2][3][x][O]
图12
或q（－3）・q（3）≤0⇒a∈［－4，-2］∪［2，4］.（如图13）
[y][q（-3）][3][q（3）][-3][x][O]
图13
综上，a∈［－4，-2］∪［2，4］.
若两曲线无公共点，则为原命题的逆否命题.
故a∈（－∞，－4）∪（－2，2）∪（4，+∞）.
由上述分析知两曲线位置关系如下：
Ⅰ． 相交
当a∈（－4，－2）∪（2，4）时，两曲线有两个公共点（如图14）.
[y][x][4][3][-3][-4][O]
图14
Ⅱ. 相切
①外切
当a=±4时，两曲线分别有一个公共点（如图15）.
[y][x][4][3][-3][-4][O]
图15
②内切
当a=±2时，两曲线分别有一个公共点（如图16）.
[y][x][4][2][-2][-4][O]
图16
Ⅲ. 相离
①外离
当a∈（－∞，－4）∪（4，+∞）时，两曲线没有公共点（如图17）.
[y][x][4][2][-2][-4][O][2][-2]
图17
②内含
当a∈（－2，2）时，两曲线没有公共点（如图18）.
[y][x][4][2][-2][-4][2][-2][O]
图18
（3）总结.
令圆（x－m）2+y2=r2的圆心坐标（m，0），半径为r；
椭圆+=1的焦距为2c，则
①当r∈（a，+∞）时，两曲线外离、外切、相交、内含.
②当r=a时，两曲线外离、外切、相交、内切.
③当r∈（b，a）时，两曲线外离、外切、相交.
④当r=b时，两曲线外离、外切、相交、内切.
⑤当r=a－c时，两曲线外离、外切、相交、内切、内含. （注：a－c为椭圆焦半径的最小值，即椭圆上的动点到焦点距离的最小值）
⑥当r∈（a－c，b）时，两曲线外离、外切、相交、内含. （由椭圆焦点直角三角形知道，b>a－c，如图19）
[y][B1][a][b][c][F2][B1][F1][x][O]
图19
⑦当r∈（0，a－c）时，两曲线外离、外切、相交、内切、内含.
[⇩]迁移训练，提高能力
1． 不论k为何值，直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆+=1有公共点，则实数m的取值范围是（）
A. （0，1） B. （0，7）
C. ［1，7） D. （1，7］
答案：B
2. 若直线y=x+m和曲线y=有两个交点，则m的取值范围是（）
A. （－，） B. （0，）
C. （1，］ D. ［1，）
答案：D
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文