【一种重要变形──“两边取”】几个重要极限的变形

　　四川苍溪中学628400 　　 　　摘要：在解数学题的过程中, 合理运用“两边取”的方法，对一个等式或不等式变形，往往是一个关键步骤，变得恰当可使问题峰回路转，柳暗花明.
　　关键词：两边取；整体思维；变形；转化
　　
　　在解数学题的过程中，往往需对一个等式或不等式施行“两边取”的变形技巧. “两边取”是一种整体处理、整体配凑的方法，它注重研究问题的整体形式、整体结构，顺应目标，避繁就简. 变形中巧用“两边取”，犹如添加了“催化剂”，可使解题顺畅.
　　
　　[⇩]两边取极限
　　例1 已知数列｛xn｝满足x2=，xn=（xn-1+xn-2），其中n≥3且n∈N. 若xn=2，则x1等于（）
　　A. B. 3C. 4D. 5
　　解析 由xn=（xn-1+xn-2）
　　得xn+xn-1=xn-1+xn-2，
　　递推得
　　xn+xn-1=x2+x1=x1 ①
　　又xn=2，①式两边取极限, 得x1=3. 故选B.
　　
　　[⇩]两边取倒数
　　例2 已知数列｛an｝满足a1=1，an+1=，求数列｛an｝的通项公式.
　　解析 由题设知数列｛an｝为正项数列.
　　将an+1=两边取倒数得=+，
　　所以数列
　　是以=1为首项，为公差的等差数列,
　　所以=, 故an=.
　　[⇩]两边取对数
　　例3 已知数列｛an｝满足a1=3，an+1=a，求数列｛an｝的通项公式.
　　解析 由题设知an>1.
　　将an+1=a两边取对数得lgan+1=2lgan，即=2，
　　所以数列｛lgan｝是首项为lg3，公比为2的等比数列，
　　故lgan=2n-1×lg3=lg3, 所以an=3.
　　
　　[⇩]两边取特值
　　例4 若（x+1）2008=a0+a1x+a2x2+…+a2008x2008，则a0+a4+a8+…+a2008=（）
　　A. 21004 B. 22007
　　C. 21003－22006 D. 21003+22006
　　解析 令x=1，得a0+a1+a2+a3+a4+…+a2008=22008①
　　令x=－1得a0－a1+a2－a3+…+a2 008=0②
　　由①②得a0+a2+a4+…+a2008=22 007 ③
　　令x=i，得（a0－a2+a4－a6+…+a2008）+（a1－a3+a5－a7+…－a2007）i=21004，
　　所以a0－a2+a4－a6+…+a2 008=21004④
　　由③④得a0+a4+a8+…+a2008=21003+22006. 所以答案为D.
　　
　　[⇩]两边取导数
　　例5 已知n∈N*，求和C+2C+3C+…+nC.
　　解析 将（1+x）n=1+Cx+Cx2+…+Cxn两边求导得
　　n（1+x）n-1=C+2Cx+3Cx2+…+nCxn-1.
　　令x=1，得C+2C+3C+…+nC=n・2n-1.
　　例6 若（x2+1）（x－2）9=a0+a1（x－1）+a2（x－1）2+…+a11（x－1）11，则
　　（a1+3a3+…+11a11）2－（2a2+4a4+…+10a10）2=. （用数字作答）
　　解析 由（x2+1）（x－2）9=a0+a1（x－1）+a2（x－1）2+…+a11（x－1）11，两边求导得
　　2x（x－2）9+9（x2+1）（x－2）8=a1+2a2（x－1）+3a3（x－1）2+…+11a11（x－1）10，
　　令x=2，得a1+2a2+3a3+…+10a10+11a11=0，所以答案为0.
　　
　　[⇩]两边取共轭
　　例7 设z∈C，解方程z－2|z|=－7+4i.
　　解析 由已知得z=2|z|－7+4i，两边取共轭得z=2|z|－7－4i.
　　两式相乘得|z|2=（2|z|－7）2+16.
　　解得|z|=5或|z|=，从而求得z=3+4i或z=+4i.
　　
　　[⇩]两边取函数
　　例8 已知定义在（－1，1）上的函数f（x）满足f
　　=1，且对x，y∈（－1，1）时，有f（x）－f（y）＝f
　　.
　　（1）判断f（x）在（－1，1）上的奇偶性，并证明之；
　　（2）令x1=，xn+1=，求数列｛f（xn）｝的通项公式.
　　解析 （1）令x=y=0，得f（0）=0. 又令x=0，得f（0）－f（y）＝f（－y），
　　即f（－y）＝－f（y），故f（x）在（－1，1）上为奇函数.
　　（2）因为数列｛xn｝满足x1=，xn+1=对一切正整数n成立.
　　证明当n≥2时，an=an-1+①
　　将①式两边平方，并整理得a－a=2+，
　　所以a=a+（a－a）+（a－a）+…+（a－a）=a+2（n－1）++…+>22+2（n－1）=2n+2>2n+1.
　　又a1=2>，所以an>（n∈N*）.
　　
　　[⇩]两边取模
　　例11 如图1，已知▱ABCD中，顶点A（0，0），B（4，－3），点P内分所成的比为2，当点D在以A为圆心，3为半径的圆上运动时，求点P的轨迹.
　　[P][C][B][x][y][A][D]
　　图1
　　解析 视坐标平面为复平面. 设点B，C，D，P对应的复数分别为zB，zC，zD，zP，则|zD|=3.
　　由题设得zB=4－3i，zP=zC，zC=zD+zB，
　　所以zD=zP－（4－3i），所以zD=zP－
　　－2i，
　　两边取模得zP－
　　－2i=2，
　　可见，点P的轨迹为以
　　，-2为圆心，2为半径的圆.
　　例12 如图2，已知圆C的方程为（x－2）2+y2=1，在圆C上任取一点Q，以OQ为边逆时针作正△OQR，求点R的轨迹方程.
　　[R][y][O][2][x][Q]
　　图2
　　解析 视坐标平面为复平面.
　　设Q，R对应的复数分别为zQ，zR，则zQ－2=1.
　　由题设得zR=zQcos
　　+isin
　　，
　　所以zR－2
　　cos+isin
　　=
　　cos+isin
　　（z－2），
　　两边取模得zR－（
　　1+i）=1，
　　即点R的轨迹方程为（x－1）2+（y－）2=1.
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