中学数学的知识特点与课堂教学变革|老师课堂教学评价 模板

　　西南大学基础教育研究中心400715 　　 　　摘要：中学数学既具有数学学科知识的特点，又具有中学生的思维特点. 因此，中学数学既有经验性，又有超经验性；既有演绎证明，又有归纳发现；既有形式推理，又有直观解释. 中学数学的知识特点对于中学数学课堂教学变革有着至关重要的作用，其影响主要表现在教学内容的呈现、课堂教学的环节和教师的作用三个方面.
　　关键词：中学数学；知识特征；课堂教学
　　
　　中学数学作为中学教育的必修科目，不仅具有数学的特点，同时也具备了教育的属性，即要考虑数学的内容与教学的方法对中学生的针对性和可接受性，也就是不仅要体现数学的客观真理性，还要体现数学知识的发生和发现过程.
　　
　　[⇩]中学数学的知识特点
　　
　　中学数学的知识具有以下特征.
　　其一，数学的知识既有经验性，又有超经验性. Imne Lakatos认为：“数学活动是人类的活动.”数学是数学家正在做的或已做过的事情，它具有任何人类活动或创造所固有的不完善性. 数学处于首要地位的是数学实践，由于数学是在处理数学问题时人与人之间的对话，因此数学本质上是人对数学问题的认识，这种认识具有经验性和拟经验性. 中学数学的知识对于中学生而言具有两重性，这就是经验性与超经验性. 经验性是指有的学习内容可以通过学生的直接经验而获得，比如立体几何中的长方体的性质，学生可以通过具体的实物观察产生直接的经验，从而理解其数学性质. 但是有的数学知识利用学生的经验来进行探究是很困难的，比如虚数单位i的性质，学生是很难通过直接的探究来理解的，它只能解释为一种数学的约定. 像这类数学知识对中学生而言就具有超经验性，因为学生无法从自己的经验里提炼出与这种数学的约定相关的信息并进行加工，实现对数学知识的理解.
　　其二，数学活动既有演绎证明，又有归纳发现. 数学不仅有分析活动，也有建构活动，这是数学活动中具有辩证关系的两个方面. Poper（1979）将数学活动所产生的数学知识（可以是主观知识或客观知识）联系起来，他认为新的数学知识从主观知识（个体的创造）开始，经发表而形成客观知识（通过主体间的审视、再形成和接受）. 由于在数学学习过程中客观知识被个体内化和再建构，成为个体的主观知识，根据这个知识，个体创造并发表新的数学知识，从而完成循环. 因此数学活动中分析和建构是具有辩证关系的两个方面，建构是个体形成主观数学知识的过程，分析是由主观知识形成客观知识的过程. 数学的命题是要通过演绎的方法证明其真理性的. 只有通过逻辑演绎、推理证明的才是正确的，这是人们之所以认为数学是可靠范式的原因. 中学数学的公式、定理都是用这种演绎推理的形式出现的. 这些看似严谨的数学公式、定理，都是通过一系列的观察、归纳、类比、猜想、试误、反驳等活动而发现的. “任何从事创造性数学的人都知道，在与数学相关的任何问题中，直觉比严密的逻辑过程起着更为重要的作用.”中学数学中有许这样的知识. 如求数列的通项公式，多面体的欧拉定理等，这些知识需要学生通过归纳、猜想等来获得.
　　其三，对数学知识的理解既有形式推理，又有直观解释. 数学不仅有相对严密的形式推理，也有借助于数学直观的思维过程. 人们普遍认为形式化是数学的显著特点之一，数学曾被人们认为是一种可靠的范式，这缘于数学是建立在一系列严密的逻辑推理之上，主要表现为形式推理. 但是在形式推理中，数学直观起着十分重要的作用，它是形式推理的基础. 菲勒（W.Feller）将数学概括为有三个方面：一是直观基础，二是形式逻辑的内容，三是应用. 这三个方面反映了数学活动的三个阶段，即经验材料的数学组织化、数学材料的逻辑组织化和数学理论的应用三个阶段.
　　由于学生理解水平的局限性，中学数学中有的知识无法给出逻辑演绎的证明. 如（-1）×（-1）=1，在中学阶段是无法给出证明的，许多教师只是通过形象的类比来给出解释. 实际上，中学数学的许多内容即使是形式推理，也要借助直观来加以理解. 如对组合公式C=C+C（m，n≥2），虽然可以通过组合数来进行证明，但对此公式的理解还需借助具体的组合问题实例. 即对于n个元素中的某一固定元素N，从n个元素中选取m个元素有两种情况，一种是不包含N，有C种选法，另一种是包含N，有C种选法.
　　
　　[⇩]知识特征对中学数学课堂教学的影响
　　
　　中学数学的知识特征，是数学的教育属性的反映，它是数学课堂教学应当遵循的规律. 中学数学的知识特征对数学课堂教学的影响至少可从以下三个方面体现.
　　第一，教学内容的呈现. 中学数学教学内容的传授是课堂教学的重要任务，课堂教学效果在很大程度上表现为学生对教学内容的掌握. 如何让教学内容在呈现方式上利于学生理解，这是中学数学课堂教学需要研究的问题. 长期以来，教学内容主要是通过教科书为载体呈现，教科书多是按照数学知识的体系作为编写体例，教师又多是按照教科书的体例来组织教学内容，因而在课堂上教学内容多是以数学知识的逻辑体系呈现. 应该说这样按照数学逻辑体系呈现教学内容本身就是数学知识特征的体现，但是学生对数学知识的理解能力是教学内容呈现必须考虑的重要因素. 就中学生而言对数学知识既有通过形式推理来理解，又有通过直观形象的解释来理解教学内容的合理性. 上世纪90年代“GX”实验提出“淡化形式，注重实质”就是在中学数学教学中不要超过学生能力去追求数学教学内容的严谨性和形式化. 在上世纪60年代开展的“程序教学”“初中数学自学辅导教学”实验就是从教科书编写改革入手，根据学生的数学理解能力编写教材（或学材），让学生能够在教师的引导下自主学习. 由于中学数学知识有许多内容对于中学生来说是超经验的，即使这样的教材（或学材）尽可能直观，学生自学也是困难的. 单一的从教科书的编写上进行教学内容呈现方式的改革，使学生自主学习来实现对教学内容的理解和掌握是困难的，这是课堂教学变革受制于中学数学知识特征所使然. 因此，基于学生理解的教学内容呈现应该是多维的. 教科书对教学内容的呈现要直观，要展现数学知识发生的过程，为学生进行数学思维活动提供线索；教师对教学内容的讲述不仅是数学演绎（应该看到数学演绎对于培养中学生的数学思维能力是至关重要的），还要根据学生的生活经验和数学经验提供形象直观解释；对于可用操作的手段来理解的数学问题（如三角形内角和定理可用拼图来直观展现证明思路），学生动手实践是重要的理解方式；直观的教具和学具也是教学内容的呈现方式.
　　第二，课堂教学的环节. 中学数学的知识内容多由数学的概念、定义、定理及规则组成，概念、定义、定理及规则通过一定的数学符号或符号串（组）表现出来，这些知识具有前后的逻辑顺序，并且以形式推理的方式表现，它们的习得结果主要表现为智慧技能和认知策略. R.M.加涅（Gagné, R.M.）认为“符号以更加复杂的方式用于对客体、事件或其他符号进行区分、联合、制表、分类、分析和表示数量”“这类习得的能力称为智慧技能”. 智慧技能主要通过学习定义概念与规则而获得. 然而，“智慧技能的心理组织通常主要由大量的规则所构成的学习层级来描述”. 我们知道，两个或两个以上的概念是单一规则学习的先决条件，两个或两个以上的规则是其上位规则学习的先决条件. “一旦后者被习得，它就可以跟另外的规则结合起来，以此类推. 以这种方式组织起来的一整套规则就形成一个学习层级”. 学习层级表明，数学学习是需要某种先前的知识作准备，因为寻求新的较高层次的数学问题的解决必须先获得相关的一些较简单的规则，“而这些简单规则的获得又依赖于其他习得和性能、规则或概念的回忆”. 因此，数学课堂教学活动的开展遵循一定的教学环节是必要的，这些环节是：相关经验或知识回顾（激活）；建立新知识与相关知识的数学的内在联系；巩固新知识，使之成为后续知识学习的前提. 新中国成立以来的中学数学课堂教学改革实验可以看出，这三个基本环节是课堂教学变革的稳定因素.
　　第三，教师的作用. 无论是中学数学的知识特点还是历史给予我们的启示都表明：在中学数学课堂教学中，教与学的关系是，教师是教学活动的引导者，学生是数学学习主体. 教师的引导作用在于把“现成的数学”转换成“做出来的数学”. 弗赖登塔尔认为，数学有两种：一种是“现成的数学”，一种是“做出来的数学”. 完整的数学往往是数学家已经完成的用严格的形式推理来表达，这是一个完整的演绎体系. 除了“现成的数学”之外，还存在另外一种活动的数学，这是数学发现的活动过程. “学习过程必须含有直接创造的侧面”，这不是客观意义上的创造，是从学生来看的主观意义上的创造. 因此数学课堂教学是“有指导的再创造”活动. 可见，在数学课堂教学活动中，教师有着不可替代的作用，这个作用就是帮助学生从事数学活动，进行数学的再创造. 教师进行课堂教学的形式与具体教学任务的数学知识相关，F.H.Bell认为，“选择教学方法是为了促进学习的目的，因此有必要识别在每一个课题的数学内容中所包含的数学对象（事实、技能、概念和原理）后，就适当选择能促进学生学习的每一个对象的适合的教学方法.”教师进行课堂教学的方式应是多样的，可以表现为富有启发的讲授，可以是编写学生自学材料并加以辅导，可以是先让学生进行自学或尝试性地解决问题后再加以指导，也可以是组织学生进行操作性活动或交流活动.