一堂课后的反思 课后反思

　　河北邯郸学院武安分院河北武安056300 　　 　　摘要：在课本上我们用数学归纳法证明了等式12+22+32+…+n2=. 然而是怎样得来的？13+23+…+n3又等于多少？下面通过几种不同的思路进行考虑. 记S1（n）=1+2+3+…+n，S2（n）=12+22+32+…+n2，S3（n）=13+23+33+…+n3.
　　关键词：求和；等式累加
　　
　　在课本上我们用数学归纳法证明了等式12+22+32+…+n2=. 然而是怎样得来的？13+23+…+n3又等于多少？下面通过几种不同的思路进行考虑. 记S1（n）=1+2+3+…+n；S2（n）=12+22+32+…+n2；S3（n）=13+23+33+…+n3.
　　例1
　　12+22+32+…+n2=.
　　思路一
　　[n\&1\&2\&3\&4\&5\&…\&n\&S1（n）\&1\&3\&6\&10\&15\&…\&\&S2（n）\&1\&5\&14\&30\&55\&…\&？\&]
　　发现规律
　　[n\&1\&2\&3\&4\&5\&…\&n\&\&\&\&\&\&\&…\&\&]
　　所以S2（n）=S1（n）=.
　　思路二
　　12=1=C，
　　22=4=1+3=C+C，
　　32=9=3+6=C+C，
　　42=16=6+10=C+C，
　　…
　　n2=C+C.
　　把上述等式累加得
　　S2（n）=2（C+C+…+C）+C
　　=2C+C
　　=.
　　思路三
　　将n组数（1，2，3，…，n）按列排开
　　1 1 1 1 … 1
　　2 2 2 2 … 2
　　3 3 3 3 … 3
　　…
　　n n n n … n
　　则上述排列中位于主对角线及下半三角的所有数字之和正好为S2（n）. 其余数字之和为
　　1+（1+2）+（1+2+3）+…+［1+2+3+…+ （n-1）］=C+C+…+C=C，
　　于是有（1+2+3+…+n）n=S2（n）+C，
　　S2（n）=（1+2+3+…+n）n－C=.
　　思路四
　　13=1，
　　23=（1+1）3=13+3×12+3×1+1，
　　33=（2+1）3=23+3×22+3×2+1，
　　…
　　（n+1）3=n3+3n2+3n+1.
　　将上述等式累加得
　　（n+1）3=3S2（n）+3S1（n）+n+1，
　　解得S2（n）=.
　　例213+23+33+…+n3=
　　2.
　　思路一
　　[n\&1\&2\&3\&4\&5\&… \&S3（n）\&1\&9\&36\&100\&225\&…\&]
　　发现规律
　　[n\&1\&2\&3\&4\&5\&…\&n\&S3（n）\&12\&32\&62\&102\&152\&…\&（1+2+3+…+n）2\&]
　　所以S3（n）=（1+2+3+…+n）2=
　　2.
　　思路二
　　13=1，
　　23=8=1+2+2+3，
　　33=27=3+4+4+5+5+6，
　　…
　　n3=C+…+（C－1）+C。
　　将上述等式累加得
　　S3（n）=21+2+3+…+C
　　－1+C
　　=2+C
　　=（C）2
　　=
　　2.
　　思路三
　　14=1，
　　24=（1+1）4=14+4×13+6×12+4×1+1，
　　34=（2+1）4=24+4×23+6×22+4×2+1，
　　…
　　（n+1）4=n4+4n3+6n2+4n+1.
　　将上述等式累加得
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文