湘教版八年级上册全等三角形【谈湘教版八年级“全等三角形”一章的教学】

　　一、教材分析 　　 　　湘教版数学教材八年级上册第3章为全等三角形。这一章分七大节，其内容分为旋转、全等三角形、直角三角形与勾股定理、作三角形四个部分。
　　1　教材特点分析
　　(1)突破了传统教材的编写思路与框架，更贴近学生生活和学习的实践经验。
　　传统教材沿用了欧几里得几何体系，所做的主要是两件事：一是为了明确概念而确定定义，二是为了揭示真理而推证定理，在三角形一章中，把全等三角形一节编排在三角形的边角关系之后，在等腰三角形与尺规作图之前，而将勾股定理一节编排在这一章的最后一节，从而达到运用公理、公设和定义论证出一系列关于二三角形的定理的目的，这样当然系统而严明，但与学生的学习实践经验有一定差距，同时，在传统教材中没有编排旋转这一节。也没有完整和单独地编排直角三角形与作三角形这两个内容，而是将这两个内容分散地编排在相关章节的正文或习题中，湘教版的编排不同，它将全等三角形作为一章的主题，连同相关的三个部分内容合编为一章，使全等三角形知识的发生、发展及应用成为一个整体，这就突显了全等三角形知识在初等几何中的重要地位，更表明了全等三角形的性质与判定在几何证明、计算与作图中的奠基作用――是几何证明、计算与作图的重要依据，同时，这样编排满足了学生较完整地学习与掌握在他们日常生活、学习中最常见、最常用、最简单的几何图形的心理要求，更贴近他们的实践经验。有利于增强他们学习几何的兴趣与信心。
　　(2)改变了学习这一章所必须具备的基础知识与经验准备。学生较易接受这一章的基础知识和基本技能，
　　在湘教版七年级数学教材中，学生学习了平移与轴反射的知识，现在，在全等三角形一章的第一部分，又安排学习了旋转的概念、性质与应用，从而使全等三角形的概念、性质与判定，由直接建立在希尔伯特体系中的合同公理基础上，转变为建立在平移、旋转和轴反射这三种几何变换的基础上，很直观，具有很强的可操作性，学生可以通过动手、动眼、动脑，对现实世界中物体位置、状态(包括运动的和静止的两种状态)变化进行观察与操作，结合已学知识经验掌握好这章知识，形成新的技能、思想与方法，为今后学习用数处理几何图形问题的高等几何、学习解析法奠定一定的认知基础。
　　(3)加强了数学思想方法的渗透。
　　传统教材中，全等三角形的概念、性质与判定定理建立在合同公理的基础上，运用了公理化思想和转化思想，在勾股定理一节中运用了数形结合思想与方程思想，在湘教版的全等三角形一章中。不仅运用了这几种数学思想方法，还由于全等三角形的概念、性质与判定是建立在几何变换的基础上，从而突出运用了合同变换思想和变位法，为解析法作了准备，另外，在直角三角形的性质与判定中，还渗透了从反面考虑问题的思想和间接证法，在作三角形中应用了分析法和分类思想，这就加强了数学思想方法的渗透。
　　2　重点、难点分析
　　(1)本章教学内容如上划分为四大部分，各部分之间的关系是：旋转与七年级数学教材中的平移、轴反射同为三角形全等部分的基础和工具；全等三角形的概念、性质与判定，不仅是研究直角三角形与推导勾股定理及其逆定理的依据，也是作三角形的方法合理性的依据，而推导直角三角形的性质、判定定理、直角三角形全等的判定定理、勾股定理及探索发现作三角形的方法均为三角形全等的性质与判定定理的应用。
　　基于上述分析，故三角形全等的概念、性质与判定定理是本章的重点，又因为全等三角形知识也是今后进一步研究多边形等知识的基础，是证明角相等、线段相等、垂直的重要依据，所以三角形全等的概念、性质和判定还是整个初等几何学的重点之一。
　　勾股定理不仅是平面几何中和生产生活中广泛应用的一个定理，而且是建立三角函数概念、构建平面三角学的基础之一，是数形结合思想的依据之一，所以勾股定理也应为本章的一个重点。
　　三角形全等的概念中，含有6个条件：对应边(3对)相等，对应角(3对)相等，因此，就概念来判别三角形是否全等比较繁琐，于是要探寻究竟有哪几对对应元素相等时两个三角形就必全等了，这是个较复杂的问题，必须经历一个探寻过程，然后还需通过合情推理过程来确定，而这个推理过程必须严格规范地进行，条理必须清晰，步步都要有依据，让人信服，没有漏洞，这对初学几何证明的八年级学生来讲是困难的，可见三角形全等判定定理的推导是本章的难点之一。
　　三角形全等的性质与判定定理的应用，是本章的又一个难点，这是因为在应用这项知识的问题中，常需将要解决的问题中的已知条件，通过应用已学知识转化到两个对应的三角形中，使这两个对应三角形满足全等的条件，这里便常发生两个方面的困难，一是不知如何转化，二是可能产生对应元素确定错误，特别是可能发生生造全等条件或误用三角形相似的判定、误认为两边及其中一边所对的角对应相等两个三角形就全等(ssA)等问题。
　　勾股定理的推导(证明)中应用了构造法，这是学生难思考到的，所以勾股定理的推导是本章的又一个难点。
　　
　　二、教学建议
　　
　　基于上述对教材的分析，我们知道本章的重中之重便是三角形全等的判定定理，本章内容具体的处理细节我想大部分老师都有自己的一手方法，我只谈两点大的方面。
　　1　建议在本章教学中普遍采用“问题情境一探索发现一反思建构一练习巩固”的教学模式，即：(1)由教师围绕要学习的知识点，创设具体的或特殊的、能引发学生思维的问题情境，使要学习的知识点隐含于情境中，由于这一章的许多知识都是古代人们研究的热点问题，如勾股定理等，因此情境最好要有数学文化品位，若能应用数学史，则是再好不过的了，(2)引导学生从问题情境中直觉地感知或猜测出数学结论，(3)通过协商、讨论，构建数学命题，明确条件与结论，运用已有知识方法给出解释或证明，(4)回顾评价，将获得的新知识、新方法进行小结，纳入旧知识体系中，然后放到新的问题情境中去检验和应用。
　　如勾股定理第1课时的教学可如下设计
　　(1)创设情境：①我国古代的战争中，常架云梯攻城，若守方城墙高8米，攻方云梯长10米。那么攻城时。攻方士兵应将云梯下端点安置在离城墙几米处，云梯的上端点恰与城墙顶端齐?②我国古代《九章算术》中有道题：“今有池方一丈，葭(芦苇)生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适如岸齐问水深、葭长各几何?”你能用什么方法得出这两题的答案呢?
　　(2)引导学生作图解答，并让学生思考这两题有什么共同之处，发现了什么共同规律。
　　(3)讨论：①上两题解答的关键是什么?能用一句话或一个式子来表述你发现的规律或解答的关键所在吗?试一试，设a、b、c分别表示直角AABC的两直角边和斜边的长。那么有a2+b2=c2，怎样证明或解释这个命题的正 确性呢?由a2+b2这个式子你联想到了哪些已有知识和经验呢?引导：对于a2+b2=(a+b)2-2ab，能用什么几何图形解释?能否用同一个几何图形解释(a+b)2-2ab=c2呢?
　　(4)小结：勾股定理是直角三角形的又一个重要性质，它有广泛的应用，它把形与数联系起来了，(然后用勾股定理解答《九章算术》中的题与教材例题和习题。)
　　2　尽管湘教版教材的编排有其独到的特色，不走大众路线，而是利用旋转定义和证明两个三角形全等，但是，SAS、ASA、AAS、SSS的出现太突然，动因不明确，像是魔术师帽子里跑出的兔子，教学中，教师可以创造性地使用教材，创造一个可信的知识发生过程，将它们背后的数学思维体现出来。
　　如：一位建筑承包商刚刚装配好两个巨大的三角架，这两个三角架用来支撑一个娱乐大厅的屋顶，在起重机把它们吊起放到屋顶位置之前，他想证明这两个三角架是全等的，根据教材中的黑体字：1，全等三角形的对应边相等；2：全等三角形的对应角相等，这是不是意味着这位承包商一定要比较这两个三角形的所有六个部分呢?承包商认为一定有一个简捷的方法，只需要测量其中一些部分就可以了，但是要测量多少部分而且是哪几个部分呢?让我们看看能不能帮他解答这个问题。
　　
　　假使这个承包商只度量每一个三角形的一条边并断定这两条边全等，就知道这两个三角形全等，这不是很好吗?换句话说，如果他知道一个三角形的一条边全等于另一个三角形的一条边，他能不能说明这两个三角形一定全等呢?只要举一个反例就可以证明它们不一定全等，图1中两个三角形有一对全等的边，但这两个三角形显然是不全等的。
　　要证明两个三角形中只有一对角全等，这两个三角形不一定全等，这是容易的，图2是有一对角全等的两个三角形，显然，这两个三角形彼此不全等。
　　再复杂一点，如果两个不同的三角形有两对全等的部分(两对全等边，或者两对全等的角，或者一对全等的边和一对全等的角)，这两个三角形一定全等吗?同样，一些反例可以证明这样的两个三角形不一定全等，如图3、图4、图5所示。
　　因此，这位承包商如果有用来证明两个三角形全等的简捷方法的话，那么他至少要测量并比较每个三角形的三个部分，三角形的三个部分的组合是什么呢?他应该测量什么呢?
　　在两个三角形中，三对全等部分有六种不同的组合，图解如下。
　　边一边一边：
　　接下来对六种不同组合进行研究，看这六种组合会不会导出证明两个三角形全等的简便方法，这时我们可以不再使用反例法，而采用探究的方式进行，探究的形式有多种，这里不多谈。
　　在这个过程中，人类的求精求简精神体现得淋漓尽致，而从简单到复杂的思考问题的方法更是渗透其中，相信学生能够有许多意想不到的收获。
　　
　　(责任编辑　李　闯)