数量标准的三个潜在来源_“二次相遇”中潜在的数量关系
小学数学中的相遇问题是学生普遍感兴趣的问题，它与我们的生活、工作紧密相连，不仅体现了数学对生活的指导、生活是数学的源泉，更能开拓学生的思维，锻炼学生解决实际问题的能力。而二次相遇中独特的数量关系，相对于学生的智力开发、观察、推理有着一定的促进作用，在不断的探索过程中，逐步地使学生摆脱常规的思维约束，培养创新意识。
如例题1：甲乙两人以匀速绕圆形跑道按相反方向跑步，出发点在直径的两个端点，如果他们同时出发，并在乙跑完100米时第一次相遇，甲跑一圈还差60米时第二次相遇，那么跑道的长是多少米?
教学过程：
一、理解题意
教师：组织学生读题。
学生质疑：计算路程的方式是：距离=速度×时间。相遇问题的计算是：距离=速度和×时间。
这个问题缺少必要的条件。
教师：那我们就用特殊的方式来尝试解决这个问题。
二、分步骤复原问题情景
教师：根据题意，画出圆形操场。标出甲乙二人所站的位置。
学生：画示意图。适当大小的圆，直径及两端的甲乙位置。
教师：用不同的颜色表示甲乙二人分别从直径的两个端点同时做匀速的反方向运动，第一次相遇时乙行100米。
学生：用不同的颜色在自己的示意图上标出相遇行动路线，相遇地点。
教师：从自己画出的示意图上你看出了什么?具体的数量关系?用自己的语言表达出来。
学生(斟酌多次)归纳：二人合跑操场的一半，乙行100米。
教师：(鼓励)。依然用不同的颜色表示各自的跑步路线，按题意是他们在距甲跑一圈60米处第二次相遇。
学生：继续画示意图。
教师：巡视。纠正学生出现的错误：甲再跑60米才够一圈。重点标出60米的位置。
教师：根据第一次相遇二人合跑操场的一半，乙行100米。描述第二次相遇时的情景。
学生：二人合跑了操场的一圈半。
教师：强调合跑半圈乙跑100米。
学生：二人合跑3个半圈。
教师追问：乙跑多少米?
学生：3个100米，即300米。
教师：仔细看你的示意图，这300米和半个操场的关系?
学生：超过直径端点60米。
学生：超过半个操场60米。
教师：圆形操场的一半是多少米?操场跑道是多少米?
学生：圆形操场的一半是300-60=240米，操场跑道长240×2=480米。
教师：(鼓励)。很好。整理问题，总结思路。
三、出示类似问题，拓展学生思维
例题2：甲、乙两辆汽车同时从A、B两站相对开出，第一次在距离A站90千米处相遇。相遇后两车继续以原速度前进，到达目的地后立即返回，第二次相遇在距离A站50千米处。求A、B两站之间的距离?
教师提示结合题意画出示意图，恢复运动情景，用直观的方式解决问题。
教师：画出甲、乙分别在A、B两站。
学生：画出示意图。
教师：用不同颜色标出第一次相遇的位置。距离A站90千米。
学生：在示意图上标出。
教师：同学们观察，你发现了什么有关的数学信息?
学生：甲乙相向而行共同走完一个A、B单程，甲行了90千米。
教师：继续在示意图上标出甲乙第一次相遇后继续前进，到达目的地后立即返回，在距离A站50千米处二次相遇。你怎样理解距离A站50千米?
学生：甲朝着原来的方向前行，到达B站后返回，朝着A站行驶，在距A站50千米处和同样返回的乙相遇。
学生：完成示意图。
教师：纵观示意图，你发现什么有关的数学信息呢?用简洁的语言描述。
学生：第一次相遇，甲乙两辆汽车共同行完一个单程，甲行90千米。第二次相遇，甲乙两辆汽车共同行完三个单程，甲行3个90千米。即90×3=270千米。甲从A站出发到B站又返回，再行50千米甲就回到A站，那么A、B两站间的距离是(270+50)÷2=160千米。
教师：(鼓励)大家总结得很好，我们通过两个例题，用直观的示意图解决了没有速度、时间的路程问题，表现了同学们极高的创新能力。下面我们将更上一层楼，解决更特色的二次相遇问题。
四、拓展提高
例3：A、B两地相距1000米，甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，在A、B两地间往返散步，两人第一次相遇时距A、B中点偏右100米，那么两人第二次相遇地点距第一次相遇地点多少米?
提示：画示意图
第一次相遇甲乙共同走一个AB单程，中点右侧100米相遇，甲行600米(距A地600米)。
第二次相遇甲乙共同走三个AB单程，甲走600×3=1800米，到B地后返回800米与同样返回的乙相遇。这时距离A地200米。
两次相遇地点距离600－200=400米。(反之亦可)
例4：客车和货车同时从甲乙两地的中间向相反方向行驶。3小时后，客车到达甲地，货车距乙地还有42千米。已知货车和客车的速度比是5：7。甲乙两地相距多少千米?
提示：画示意图
根据5：7，甲乙两地的中点左右等距离各分成7等份，甲乙两地共14等份。
由于时间相等，速度比就是距离比，当客车行完距离的一半(7等份)时，货车行5等份。还有42千米(2等份)，每等份距离42÷2=21千米。
甲乙两地相距21×14=294千米。
责任编辑 高洁