圆的综合解题技巧|有关圆的解题技巧
圆的综合解题技巧
圆中的分类讨论：
例1. 在半径为1的⊙O 中，弦AB ，AC 的长分别是和2，求∠BAC 的度数。
例2. P A ，P B 是⊙O 的两条切线，A ，B 分别是切点，点C 是弧AB 上任意一点，连结O A ，O B ， C A ，
C B ，∠P =70 ，求∠A C B 的度数．
巩固练习：
1. 已知：AB 、CD 为⊙O 的两条弦，且AB ∥CD ，⊙O 的半径为5cm ，AB=8cm，CD=6cm，求AB 、CD 之间的距离.
2．⊙O 的直径AB=2cm，过A 点有弦AC=2,AD=. 求∠CAD 所夹的圆内部分的面积。
3. 已知PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 是切点，∠APB ＝780，点C 是⊙O 上异于A 、B 的任一点，则∠
ACB ＝ 。
4. 如图，底面半径为5dm 的圆柱形油桶横放在水平地面上，向桶内加油后，量得长方形油面的宽度为8dm ，
则油的深度（指油的最深处即油面到水平地面的距离）为（ ） Ａ．2dm
5. 在半径为2的⊙O 中，弦A B
的长为AOB 的度数是多少？若点C 为圆上任意一点， 则∠
ACB 的度数是多少？
6．△ABC 中,AB=4cm，AC=22cm, 若以A 为圆心，2cm 为半径的圆与直线BC 相切，则∠BAC ＝ 圆中的证明：
例1. 如图，已知等边∆ABC ，一边BC 为直径的半圆与边AB 、AC 分别交于点D 、点E. 过点D 作
DF ⊥AC ，垂足为点F.
（1）判断DF 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；
（2）过点F 作FH ⊥BC ，垂足为点H. 若等边ABC 的边长为4，求FH 的长（结果保留根号）.
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Ｂ．3dm Ｃ．2dm 或3dm Ｄ．2dm 或8dm
例2. 如图，已知⊙O 1与⊙O 2是等圆，它们相交于A 、B 两点，O 2在⊙O 1上，AC 是⊙的直径，直线
CB 交⊙O 1于D ，E 为AB 延长线上一点，连接DE. （1）请你连接AD ，证明：AD 是⊙O 1的直径； （2）若∠E ＝600，求证：DE 是⊙O 1的切线.
F ，DE 交AC 于G ，∠ADG ＝∠AGD. (1)求证：AD 是⊙O 的切线；
（2）若AB=2,AD=4,BC=6,EG=2，求⊙O 的半径.
巩固练习：
O 的切线。
⋂
2． (2006江西) 如图，A B 是⊙O 的直径，B C 是弦，O D ⊥B C 于E ，交BC 于D ．
例3. 如图，割线ABC 与⊙O 相交于B 、C 两点，D 为⊙O 上一点，E 为弧BC 的中点，OE 交BC 于点
E
1. 如图，△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC 的中点，以O 为圆心的圆与AB 相切于点D 。求证：AC 是⊙
（1）请写出四个不同类型的正确结论； ．．．．
（2）连结C D ，设∠C D B =α，∠ABC =β，试找出α与β之间的 一种关系式，并给予证明．
3. 如图，线段AB 经过圆心O ，交⊙O 于A 、C 两点，点D 在⊙O 上，∠A ＝∠B ＝30°. （1）求证：BD 是⊙O 的切线；
（2
）若点N 在⊙O 上，且DN ⊥AB ，垂足为M ， NC=10，求AD
的长
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A
O E
B
C
D
4. 如图,AB 是⊙O 的直径,CB 、CE 分别切⊙O 于点B 、D ，CE 与BA 的延长线交于点E, 连结OC 、OD ． （1）求证：△OBC ≌△ODC ；
（2）已知DE=a，AE=b，BC=c，请你思考后，选用以上适当的数，设计出计算⊙O 半径r 的一种方案： ①你选用的已知数是 ； ②写出求解过程．（结果用字母表示）
5． （2006 淮安课改）阅读材料：如图（一），△A B C 的周长为l ，内切圆O 的半径为r ，连结O A ，O B ，
O C ，△A B C 被划分为三个小三角形，用S △A B C 表示△A B C 的面积
E
S △ABC =S △O AB +S △O BC +S △O C A
又 S △O A B =
∴S △A B C =∴r =
12
12
A B r ，S △O BC =
12B C r +
12
12
B C r ，S △O C A =
12l r
12
C A r
A B r +C A r =
2S △A B C
l
（可作为三角形内切圆半径公式）
图（一）
（1）理解与应用：利用公式计算边长分别为5，12，13的三角形内切圆半径；
（2）类比与推理：若四边形A B C D 存在内切圆（与各边都相切的圆）且面积为S ，各边长分别为a ，b ，
c ，d ，试推导四边形的内切圆半径公式； （3）拓展与延伸：若一个n 边形（n 为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为S ，各边长分别为a 1，a 2，
a 3， ，a n ，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）．
6．（天津）已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8。
（Ⅰ）如图①，若半径为r 1的⊙O 1是Rt △ABC 的内切圆，求r 1；
（Ⅱ）如图②，若半径为r 2的两个等圆⊙O 1、⊙O 2外切，且⊙O 1与AC 、AB 相切，⊙O 2与BC 、AB 相切，求r 2
；
图
图①
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图
（Ⅲ）如图③，当n 大于2的正整数时，若半径r n 的n 个等圆⊙O 1、⊙O 2、…、⊙O n
依次外切，且⊙O 1与AC 、BC 相切，⊙O n 与BC 、AB 相切，⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3、…、⊙O n －1均与
AB 边相切，求r n .
7．（07山东滨州）如图12-1所示，在△A B C 中，AB =AC =2，∠A =90 ，O 为B C 的中点，动点E 在B A 边上自由移动，动点F 在A C 边上自由移动．
（1）点E ，F 的移动过程中，△O E F 是否能成为∠EOF =45 的等腰三角形？若能，请指出△O E F 为等腰三角形时动点E ，F 的位置．若不能，请说明理由．
（2）当∠EOF =45 时，设B E =x ，CF =y ，求y 与x 之间的函数解析式，写出x 的取值范围． （3）在满足（2）中的条件时，若以O 为圆心的圆与A B 相切（如图12-2），试探究直线E F 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论．
A
A
B
B C
图12-1 图12-2
圆中的方案设计：
例1. 如图，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90 的扇形．
（1）求这个扇形的面积（结果保留π）．
（2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由．
（3）当⊙O 的半径R (R >0) 为任意值时，（2
例2．在一服装厂里有大量形状为等腰三角形的边角布料，如图示。现取其中的一种，测得∠C=90°，AC=BC=4.今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘恰好都在△ABC 的边上，且扇形的弧与△ABC 的其它边相切。请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径(只要求画出图形，并直接写出扇形的半径) A
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B
C
巩固练习：
1. 某公园计划砌一个形状如图（1）所示的喷水池，后来有人建议改为图（2）的形状，且外圆的直 径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变，你认为砌喷水池的边沿（ ） Ａ．图（1）需要的材料多 Ｂ．图（2）需要的材料多 Ｃ．图（1）、图（2）需要的材料一样多 Ｄ．无法确定
图（1） 图（2）
2．在相距60km 的两个城镇A ，B 之间，有一近似圆形的湖泊，其半径为15km ，圆心O 恰好位于A ，B
连线的中点处．现要绕过湖泊从A 城到B 城，假设除湖泊外，所有的地方均可行走，如路线：线段AC →弧CD →线段D B ，其中C ，D 在直线A B 上．请你找出最短的行走路线，并求出这条路线的长
度．≈1.73，π≈3.14)
3、如图，一块直角三角板形状的木板于料，木工师傅要在此余料上锯出一块圆形的木版制作凳面，要想使锯出的凳面的面积最大.
(1)请你试着用直尺和圆规画出此圆(要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法). (2)若此R t△ABC 的直角边分别为30cm 和40cm ，试求此圆凳面的面积
A
C
4. 李大爷有一个边长为a 的正方形鱼塘（图1），鱼塘四个角的顶点A 、B 、C 、D 上各有一棵大树. 现在李
大爷想把原来的鱼塘扩建成一个圆形或正方形鱼塘（原鱼塘周围的面积足够大），又不想把树挖掉（四棵大树要在新建鱼塘的边沿上）
（1）若按圆形设计，利用图1画出你所设计的圆形鱼塘示意图，并求出圆形鱼塘的面积； （2）若按正方形设计，利用图2画出你所设计的正方形鱼塘示意图； （3）你在（2）所设计的正方形鱼塘中，有无最大面积？为什么？ （4）李大爷想使新建鱼塘面积最大，你认为新建鱼塘的最大面积是多少？
D D
B
图1
C B
图2
C
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例1. 两个半径为r 的等圆⊙O 1, ⊙O 2外切于点P ，将三角板的直角顶点放在点P ，再将三角板绕点P 旋转，使三角板的两直角边的一边PA 与⊙O 1相交与A ，另一边PB 与⊙O 2相交于点B （转动中直角边与两圆都不相切）. 此时线段AB 的长与半径之间有什么关系？请回答并证明你得到的结论.
例2. 在矩形ABCD 中，AB=20cm,BC=4cm,点P 从A 开始沿折线A-B-C-D 以4cm/s的速度移动，
点Q 从C 开始沿CD 边以1cm/s的速度移动，如果点P 、Q 分别从A ，C 同时出发，当其中一点到达D 时，另一点也随之停止运动。设时间为t(s)
（1）t 为何值时，四边形APQD 为矩形？
（2）如图，如果⊙P 和⊙Q 的半径都为2cm ，那么t 为何值时，⊙P 和⊙Q 外切？
巩固练习：
1. 已知：如图，AB 是⊙O 的一条弦，点C 为弧AB 的中点，CD 是⊙O 的直径，过C 点的直线l 交AB
所在直线于点E ，交⊙O 于点F.
(1)判断图中∠CEB 与∠FDC 的数量关系，并写出结论；
(2)将直线l 绕C 点旋转(与CD 不重合) ，在旋转过程中，E 点、F 点的位置也随之变化，请你在下面两个备用图中分别画出l 在不同位置时，使(1)的结论仍然成立的图形，标上相应字母，选其中一个图形给予证明.
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A B AB =12cm , CD =8cm P A 开始沿A B 边向B 以3㎝╱s 的速度移动，点Q 从 C 开始沿CD 边向D 以1㎝ ╱s 的速度移 动，如果点 P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动。 设运动时间为t (s )。
（1）t 为何值时，四边形APQD 是平行四边形？
（2）如图2，如果⊙P 和⊙Q 的半径都是2㎝，那么，t 为何值时，⊙P 和⊙Q 外切？
圆与函数
例1．如图，某运动员P 从半圆跑道的A 点出发沿弧AB 匀速前进到达终点B ，若以时间t 为自变量，扇形O A P 的面积S 为函数的图象大致是（ ）
A
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
例2. 如图1，在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心的⊙O 的半径为2-1，直线l ：y =-x -
与坐标轴分别交于A 、C 两点，点B 的坐标为（4，1），⊙B 与x 轴相交于点M. (1)求点A 的坐标及∠CAO 的度数；
2
（2）⊙B 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴负方向平移，同时，直线l 绕点A 顺时针匀速旋转. 当⊙B 第一次与⊙O 相切时，直线l 也恰好与⊙B 第一次相切. 问：直线AC 绕点A 每秒旋转多少度？ （3）如图2，过点A 、O 、C 三点做⊙O 1，点E 是劣弧AO 上一点，连接EC ，EA ，EO ，当点E 在
劣弧AO 上运动时（ 不与A ，O 两点重合），果变化，说明理由.
图
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EC -EA EO
的值是否发生变化？如果不变，求其值；如
图
巩固练习：
1．已知：如图10-1，⊙D 交y 轴于点A 、B ，交x 轴于点C ，过点C 的直线y =-22x -8与y 轴交于点P.
（1）试判断直线PC 与⊙D 的位置关系；
（2）判断直线PC 上是否存在点E ，使得S ∆ABC =4S ∆CDO ，若存在，求出点E 的坐标，若不存在，请
圆中的计算：
例1．一个圆锥的高为3，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（ ）
(A)9π
(B)18π
(C)27π (D)39π
例2．如图，在△ABC 中，BC ＝4，以点A 为圆心、2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于E ，交
AC 于F ，点P 是⊙A 上的一点，且∠EPF ＝40°，则图中阴影部分的面积是（ ）．
B
C
例3．如图，已知点A 、B 、C 、D 均在已知圆上，AD ∥BC ，AC 平分∠BCD ，∠ADC ＝120°，四边形ABCD 的周长为10。 ⑴求此圆的半径；
⑵求图中阴影部分的面积。
练习
1. 如图，已知△A B C ，AC =BC =6，∠C =90．O 是A B 的中点，⊙O 与A C 相切于
点D ，与B C 相切于点E ，设⊙O 交O B 于F ，连D F 并延长交C B 的延长线于G ． （1）∠B F G 与∠B G F 是否相等？为什么？
（2）求由D G ，G E 和弧E D 所围成图形的面积（阴影部分）．
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2．已知：∠MAN=30°，O 为边AN 上一点，以O 为圆心、2为半径作⊙O ，交AN 于D 、E 两点，设AD=x ，
⑴如图⑴当x 取何值时，⊙O 与AM 相切；
⑵如图⑵当x 为何值时，⊙O 与AM 相交于B 、C 两点，且∠BOC=90°．
3. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米的范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220km 的B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20 km，分力就会减弱一级，该台风中心现在正以15 km⁄h 的速度沿北偏东300方向往C 处移动，且台风中心风力不变，若某地所受分力达到或超过四级，则称为受台风影响. （1）该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由.
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ （3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？ 。
A
第25题图（2）
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