【发展数学思维,完善认知体系】 一年级思维训练100题

　　中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1671-0568(2012)25-0181-02　　2011年版数学课标提出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。”教师引导学生主动探索、建构数学模型的过程中，为学生提供发展数学思维的机会，让学生能够主动发现、分析和解决问题，深化学生对数学新知的体验，积累数学思维活动经验，优化和发展数学思维，促进学生解决问题能力获得提高。
　　一、积累感性与理性经验，建构和丰富数学表象
　　教师应重视学生已有的经验，创设有利于学生思考、与实际生活相贴近的情境，让学生在具体的学习情境中抽象出数学问题，寻求解决问题的思路，从而有效地建构数学模型。“在感性认识的基础上，把所获得的感觉材料，经过思考、分析，加以去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的整理和改造，形成概念、判断、推理。”从2011年版数学课标看出，数学的建模实质上就是引导学生从具体到抽象的思维结果，就是引导学生利用已有经验建构和丰富数学表象，并能通过有机联结、组合和改造后，引发学生的想象，从而获得了理性的认识，抽象出数学概念并内化了数学概念，实现了数学模型的建构。
　　例如，教学人教版三年级上册“认识几分之一”时，教师出示课件①：把4个苹果平均分给班里的小明和小华，小明和小华每人分到几个苹果？（学生列式计算，教师再把学生探究结果板书：4÷2＝2）
　　课件②：把2个苹果平均分给班里的小明和小华，小明和小华每人分到几个苹果？（板书：2÷2＝1）
　　课件③：把1个苹果平均分给班里的小明和小华，小明和小华每人分到几个苹果？（学生在探究中认为每人可以分得半个，怎样表示分得的结果呢？教师板书：1÷2＝？把学生导入分数的学习中。）
　　教师继续演示，将一个苹果一刀切开，平均分成两份，分别给小明和小华一份，其他学生观察教师的演示，明确了每人分到的一份苹果就是这个苹果的二分之一，可以用1/2表示。接着，教师给学生分发长方形、正方形、圆形、六边形等纸板若干份，让学生用色笔涂一涂或动手折出这些图形的1/2，说一说是怎么涂出或折出这些图形的1/2？又出示一系列带有阴影部分的图形让学生辨析，引导学生探讨：①图形中阴影部分能够用1/2表示吗？②这些图形为什么都能用1/2表示呢？③想象一下，同一张正方形纸的1/2一样吗？④想象一下，不同圆形的1/2怎样？有什么规律？教师引导学生进行操作、讨论、探究后，加以归纳总结，继续借助1/2，类推1/3、1/4、1/5、1/8……最后抽象出概念：“把任意一个图形或物体平均分成几份，其中一份可以用几分之一表示；不同的图形，如果平均分成的份数相同，每一份都可以用同一个分数表示；同样的图形，如果平均分的份数不同，每一份表示的几分之一也不同。”在这一课例中，教师引导学生在已有的、形象操作经验中感知、思考、想象，获取了感性与理性经验，并通过观察、比较、辨析等途径，积累和丰富了数学表象，建构了数学模型。
　　二、发展思维的灵活性，提升问题解决能力
　　学生在数学活动中发现、解决问题时，教师应引导学生采取多种形式学习策略，善于从不同的角度，运用不同的方法进行思考，能够根据条件或问题的变更采取不同的思路，让学生多方位、多层面思考并建构数学模型，形成多种、独特的解题方法，发展了思维的灵活性。因此，教师应创设具体生动而富有开放性的学习情境，让学生利用已有知识经验，自主地寻找生活中的事例与解释，以丰富的数学思考和理性的数学思维，体验、感悟和解决数学问题，拓宽了数学思维空间，提升问题解决能力。
　　例如，教学人教版六年级上册“圆的面积”时，教师先立足于教材，给每个学习小组分发圆形硬纸板，让学生在小组里合作采用等分方式，把圆形分成若干个小扇形，引导学生把小扇形拼成近似长方形后，通过寻找联系，推导出圆的面积计算公式：S＝πr2，提出：“如果不采用这种拼成近似长方形的方法，大家还能想出其他什么办法来推导出圆的面积公式吗？”学生在这种挑战性的问题情境中探究欲望被充分激起，纷纷动手操作，又剪又拼，讨论探究，思维十分活跃，且又能做到大胆求证，在成果汇报展示时，生1：“本组把这个圆纸板平均分成8份，再把它们拼成了一个近似平行四边形，这个平行四边形的底刚好是圆周长的1/2，它的高等于这个圆的半径，由此可以推导出S＝1/2C×r＝πr×r＝πr2。”生2：“我组将圆纸板平均分成16等份后，拼成一个近似的三角形，三角形的底恰好是这个圆周长的
　　4/16，三角形的高是这个圆半径的4倍，由此可以推导出S＝4/16C×4r÷2＝C×r÷2＝2πr×r÷2＝πr2。”生3：“我们组将圆纸板分割后转化成一个近似梯形，梯形的上底正好是这个圆周长的3/16，下底是这个圆周长的5/16，高是这个圆半径的2倍，由此可以推导出S＝（3/16C＋
　　5/16C）×2r÷2＝1/2C×2r÷2＝πr×2r÷2＝πr2。”学生在开放式的学习情境中自主参与探究，寻找解决问题的各种途径，克服了思维的单一性，使不同的学生表现出不同的思维过程，也让不同思维特点的学生获得不同层次的发展，同时，在这种开放性的学习活动中，学生通过自己的眼、手去认识世界，用脑去思考与探究，使学生的数学思维能力得到充分发展，对数学知识积极地情感体验，提升了学生解决问题能力，促使学生成为发现者、创造者和使用者。
　　三、重视培养反思能力，完善学生认知结构
　　学生进行数学学习的最终目的就是获得基本的数学思想方法。因而，为了进一步丰富学生的数学活动经验，帮助学生牢固地掌握数学思想方法，教师要善于引导学生对学习过程进行反思，鼓励学生在获得知识后归纳、总结和审视探究过程，梳理新旧知识的联系，掌握和积累学习方法和策略，完善学生自身的认知结构。
　　例如，教学人教版五年级上册“平行四边形的面积”时，教师通过情境创设导入学习内容，引导学生进行观察、数方格、比较、讨论、归纳、操作和推导，经历了平行四边形面积计算公式的推导探究过程。接着，教师让学生反思是怎样推导出平行四边形面积计算公式，学生认为是通过剪拼割补，把平行四边形转化成长方形后，再推导出平行四边形面积计算公式。教师则提出：“大家怎么会想到把平行四边形转化成长方形呢？”学生：“由于前面我们已经学习了长方形面积计算，把平行四边形转化成长方形，就比较容易推导出它的面积计算公式。”教师引导学生进行总结：“以后我们遇到类似今天学到不能直接解决的新问题时，就要想办法把新问题转化成熟悉的问题再加以解决。”学生通过反思学习过程，巩固了解决问题的转化策略，为进一步学习数学新知，解决数学问题奠定了坚实的基础。
　　又如，教学人教版六年级下册“比例的运用”时，教师运用课件出示：平和罐头厂7月份计划生产荔枝罐头5000箱，按生产箱数的比2：3分配给甲、乙两个车间，甲、乙两个车间分别要生产荔枝罐头多少箱？学生认真审题后，教师引导学生分析这道题目的数量关系，学生根据所学比例知识采用了按比例分配解答：先求出总份数即2＋3＝5，再求出甲、乙两个车间生产比例，即甲2/5乙3/5，最后求出甲、乙两个车间各要生产的箱数，即甲车间为5000×2/5＝2000（箱），乙车间为5000×3/5＝3000（箱）。教师并没有满足于此，鼓励学生思维多样化，进行个性化地解决问题，提出：“是否还有其他解法？”学生经过一番探究后，有些学生运用方程解，即设每份为ｘ箱，2ｘ+3ｘ=5000，5ｘ=5000，ｘ=1000（箱），2ｘ=2000（箱），3ｘ=3000（箱）；有些学生采用分数解，即把甲车间生产的箱数看作单位“1”，由此得出5000÷（1+3/2）=2000（箱），乙车间生产的箱数就是5000－2000＝3000（箱）……教师及时引导学生对比他人的解法，与自己的解法进行比较、反思和评价，经过辨析和比较，了解不同解法的特点和优势，培养了学生的优化意识，发展了学生个性化思维，提升学生解决问题能力。