正弦定理求三角形面积

正弦定理求三角形面积_正弦定理与余弦定理的证明

一、正弦定理的几种证明方法 1.利用三角形的高证明正弦定理 （1） 当 ? ABC 是锐角三角形时， 设边 AB 上的高是 CD， 根据锐角三角函数的定义， C 有 CD ? a sin B , CD ? b sin A 。

由此，得asin Aasin A ??bsin B ， ?同理可得csinC?bsin B，Aba B故有bsin Bcsin C .从而这个结论在锐角三角形中成立.D（2）当 ? ABC 是钝角三角形时，过点 C 作 AB 边上的高，交 AB 的延长线于点 D， 根据锐角三角函数的定义，有 CD ? a sin ?CBD ? a sin ?ABC ，CD ? b sin A 。由此， 得asin A ?bsin ?ABC ， ?同理可得csin C .csinC?bsin ?ABCb A a B D C故有asin Absin ?ABC?由(1)(2)可知，在 ? ABC 中，asin A?bsin B?csin C成立.从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即asin A ?bsin B?csin C .2.利用三角形面积证明正弦定理? 已知 △ ABC, 设 BC ＝ a, CA ＝ b,AB ＝ c, 作 AD⊥BC, 垂足为 D.? 则 Rt△ ADB AD A 中, sin B ? ,?∴AD=AB· sinB=csinB.? AB 1 1 1 1 ∴S△ ABC= a ? AD ? ac sin B .?同理,可证 S△ ABC= ab sin C ? bc sin A .? 2 2 2 2 1 1 1 C ∴ S△ ABC= ab sin C ? bc sin A ? ac sin B .?∴absinc=bcsinA=acsinB,? D 2 2 2 sin C sin A sin B a b c ? ? ? ? 在等式两端同除以 ABC,可得 .?即 . c a b sin A sin B sin C 3.向量法证明正弦定理 (1)△ ABC 为锐角三角形,过点 A 作单位向量 j 垂直于 AC ,则 j 与BAB 的夹角为AB ,?90° -A,j 与 CB 的夹角为 90° -C.?由向量的加法原则可得? AC ? CB ?为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量第 1 页 共 1 页j 的数量积运算,得到 j ? ( AC ? CB) ? j ? AB 由分配律可得 AC ? ∴|j|j ? CB ? j ? AB .?j ABAC Cos90° +|j| CB Cos(90° -C)=|j| AB Cos(90° -A).?a c ? .? sin A sin C∴asinC=csinA.?∴C另外,过点 C 作与 CB 垂直的单位向量 j,则 j 与 AC 的夹角为 90° +C,j 与 AB 的夹 角为 90° +B,可得c b ? .? sin C sin B(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为 j 与 为 90° -C,j 与AC 的夹角AB 的夹角为 90° -B)?∴a b c ? ? .? sin A sin B sin C(2)△ ABC 为钝角三角形,不妨设 A＞90° ,过点 A 作与 与AC 垂直的单位向量 j,则 jCjAB 的夹角为 A-90° ,j 与 CB 的夹角为 90° -C.?AB ,得 j·AC ?+j· CB =j·AB ,?A由 AC ? CB ?即 a· Cos(90° -C)=c· Cos(A-90° ),?∴asinC=csinA.?∴ 另外,过点 C 作与 CB 垂直的单位向量 j,则 j 与 角为?90° +B.同理,可得 4.外接圆证明正弦定理a c ? sin A sin CABAC 的夹角为 90° +C,j 与 AB 夹a b c b c ? ? ? .? ∴ sin B sin C simA sin B sin C在△ ABC 中,已知 BC=a,AC=b,AB=c,作△ ABC 的外接圆,O 为圆心, 连结 BO 并延长交圆于 B′,设 BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所 对的圆周角相等可以得到 c c ? 2 R .? ∠BAB′=90° ，∠C =∠B′，∴sinC=sinB′= sin C ? sin B ? ? .?∴ 2R sin C a b a b c ? 2 R, ? 2 R .?∴ ? ? ? 2 R .? 同理,可得 sin A sin B sin A sin B sin C 这就是说,对于任意的三角形,我们得到等式?第 2 页 共 2 页a b c ? ? .? sin A sin B sin C法一(平面几何)：在△ABC 中，已知 AC ? b, BC ? a, 及?C ，求 c。过 A 作 AD ? BC于D，是AD＝AC sin C ? BC sin C ，CD ? AC cos ? b cos c,BAC在 Rt ?ABD 中， AB ? AD ? BD ? (b sin c) ? (a ? b cos c) ? a ? b ? 2ab cos c ，2 2 2 2 2 2 2法二（平面向量） ：??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ?2 ??? ? ??? ? AB ? AB ? ( AC ? BC ) ? ( AC ? BC ) ? AC ? 2 AC ? BC ? BC ? AC ? 2 | AC | ? | BC |??? ?2 cos(180? ? B) ? BC ? b2 ? 2ab cos B ? a2 ，即： c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos c法三（解析几何）：把顶点 C 置于原点，CA 落在 x 轴的正半轴上，由于△ABC 的 AC=b， CB=a， AB=c， 则 A， B， C 点的坐标分别为 A(b， 0)， B(acosC， asinC)，C(0，0)． |AB|2=(acosC－b)2+(asinC－0)2 =a2cos2C－2abcosC+b2+a2sin2C =a2+b2－2abcosC， 即 c2=a2+b2－2abcosC．.法五（用相交弦定理证明余弦定理）:如图，在三角形 ABC 中，∠A=α，AB=a，BC=b，AC=c。现 在以 B 为圆心，以长边 AB 为半径做圆，这里要用长边的道理 在于，这样能保证 C 点在圆内。BC 的延长线交圆 B 于点 D 和 E 这样以来，DC=a-b，CE=a+b，AC=c。因为 AG=2acosα ，所以 CG=2acosα -c。根据相交弦定理有： DC×CE=AC×CG，带入以后就是 (a-b)(a+b)=c(2acosα -c) 化简以后就得 b =a +c +2accosα 。也就是我们的余弦定理。

如图，在△ ABC 中，AB＝4 cm，AC＝3 cm，角平分线 AD＝2 cm，求此三角形面积.2 2 2分析：由于题设条件中已知两边长，故而联想面积公式 S△ ABC＝第 3 页 共 3 页1 AB· AC· sinA，需求出 2sinA ，而 △ ABC 面积可以转化为 S△ ADC ＋ S△ ADB ，而 S△ ADC ＝1 A 1 AC· ADsin ， S△ ADB ＝ 2 2 2A A AB· AD· sin ，因此通过 S△ ABC＝S△ ADC＋S△ ADB 建立关于含有 sinA，sin 的方程，而 sinA＝ 2 2 A A A A 2sin cos ，sin2 ＋cos2 ＝1，故 sinA 可求，从而三角形面积可求. 2 2 2 2 解：在△ ABC 中，S△ ABC＝S△ ADB＋S△ ADC， ∴ ∴ 1 1 A 1 A AB· ACsinA＝ · AC· AD· sin ＋ · AB· ADsin 2 2 2 2 2 1 1 A A · 4· 3sinA＝ · 3· 2sin ，∴6sinA＝7sin 2 2 2 2A A A ∴12sin cos ＝7sin 2 2 2 ∵sin ∴sin A A 7 A π ≠0，∴cos ＝ ，又 0＜A＜π，∴0＜ ＜ 2 2 12 2 2 A ＝ 2 A 1－cos2 2 ＝ 95 ， 12A A 7 95 ∴sinA＝2sin cos ＝ ， 2 2 72 ∴S△ ABC＝ 1 7 95 · 4· 3sinA＝ （cm2）. 2 12在△ ABC 中，AB＝5，AC＝3，D 为 BC 中点，且 AD＝4，求 BC 边长. x 解：设 BC 边为 x，则由 D 为 BC 中点，可得 BD＝DC＝ ， 2 AD2＋BD2－AB2 在△ ADB 中，cosADB＝ ＝ 2AD· BD x 42＋（ ）2－52 2 x 2× 4× 2 x 42＋（ ）2－32 2 x 2× 4× 2AD2＋DC2－AC2 在△ ADC 中，cosADC＝ ＝ 2AD· DC又∠ADB＋∠ADC＝180° ∴cosADB＝cos（180° －∠ADC）＝－cosADC. x x 42＋（ ）2－52 42＋（ ）2－32 2 2 ∴ ＝－ x x 2× 4× 2× 4× 2 2 解得，x＝2 所以，BC 边长为 2. 2.在△ ABC 中，已知角 B＝45° ，D 是 BC 边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求 AB. 解：在△ ADC 中， AC2＋DC2－AD2 72＋32－52 11 cosC＝ ＝ ＝ ， 2AC· DC 2× 7× 3 14第 4 页 共 4 页5 3 又 0＜C＜180° ，∴sinC＝ 14 AC AB 在△ ABC 中， ＝ sinB sinC sinC 5 3 5 6 ∴AB＝ AC＝ · 2 ·7＝ . sinB 14 2 3 5 3.在△ ABC 中，已知 cosA＝ ，sinB＝ ，求 cosC 的值. 5 13 3 2 解：∵cosA＝ ＜ ＝cos45° ，0＜A＜π 5 2 4 ∴45° ＜A＜90° ，∴sinA＝ 5 ∵sinB＝ 5 1 ＜ ＝sin30° ，0＜B＜π 13 2∴0° ＜B＜30° 或 150° ＜B＜180° 若 B＞150° ，则 B＋A＞180° 与题意不符. 12 ∴0° ＜B＜30°cosB＝ 13 3 12 4 5 16 ∴cos（A＋B）＝cosA· cosB－sinA· sinB＝ · － · ＝ 5 13 5 13 65 又 C＝180° －（A＋B）. 16 ∴cosC＝cos［180° －（A＋B） ］＝－cos（A＋B）＝－ . 65第 5 页 共 5 页

正弦定理求三角形面积_三角形面积公式

面积公式一、教学目标 知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面 积公式的简单推导和应用 过程与方法：本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点， 循序渐进地具体运用于相关的题型。

情感态度与价值观：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养 学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验 二、教学重点、难点 重点：推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目 难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题 三、教学过程 [创设情境] 讲授新课 师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。在? ABC 中，边 BC、CA、AB 上的高分别记为 h a 、h b 、h c ，那么它们如何用已知边和角表示？生：h a =bsinC=csinB h b =csinA=asinC h c =asinB=bsinaA师：根据以前学过的三角形面积公式 S= 下面的三角形面积公式，S=1 ah,应用以上求出的高的公式如 h a =bsinC 代入，可以推导出 21 absinC，大家能推出其它的几个公式吗？ 2 1 1 生：同理可得，S= bcsinA, S= acsinB 2 2[范例讲解] 例 1、在 ? ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积 S（精确到 0.1cm 2 ） （1）已知 a=14 cm, （2）已知 B=60 ? , c=24 cm, B=150 ? ; C=45 ? , b=4 cm;（3）已知三边的长分别为 a=3 cm,b=4 cm, c=6 cm 分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用 解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。

解：略 例 2、 如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形 区域的三条边长分别为 68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到 0.1cm 2 ）？ 思考：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？ 本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。解：设 a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论， cosB=c2 ? a2 ? b2 127 2 ? 68 2 ? 88 2 = ≈0.7532 2ca 2 ? 127 ? 68应用 S=sinB= 1 ? 0.75322 ? 0.6578 S ≈1 acsinB 21 ? 68 ? 127 ? 0.6578≈2840.38(m 2 ) 2答：这个区域的面积是 2840.38m 2 。

变式练习 1：已知在 ? ABC 中， ? B=30 ? ,b=6,c=6 3 ,求 a 及 ? ABC 的面积 S 提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。

答案：a=6,S=9 3 ;a=12,S=18 3 例 3、在 ? ABC 中，求证： （1）a 2 ? b 2 sin 2 A ? sin 2 B ? ; c2 sin 2 C（2） a 2 + b 2 + c 2 =2（bccosA+cacosB+abcosC） 分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，用正弦定理来证明 证明： （1）根据正弦定理，可设a = b = c = 2R sin A sin B sin C显然 2R ? 0，所以左边=a 2 ? b 2 k 2 sin 2 A ? k 2 sin 2 B sin 2 A ? sin 2 B ? = =右边 c2 k 2 sin 2 C sin 2 C（2）根据余弦定理的推论， 右边=2(bcb2 ? c2 ? a2 a2 ? b2 ? c2 c2 ? a2 ? b2 +ca +ab ) 2bc 2ca 2ab=(b 2 +c 2 - a 2 )+(c 2 +a 2 -b 2 )+(a 2 +b 2 -c 2 ) =a 2 +b 2 +c 2 =左边 变式练习 2：判断满足 sinC =si n A ? si nB 条件的三角形形状 cos A ? cos B提示：利用正弦定理或余弦定理， “化边为角”或“化角为边” （解略）直角三角形补充：海伦公式假设在平面内，有一个三角形，边长分别为 a、b、c，三角形的面积 S 可由以下公式求得：而公式里的 p 为半周长（周长的一半）：课堂练习 课本第 18 页练习第 1、2、3 题课时小结 S=1 1 1 absinC= bcsinA = acsinB 2 2 2（）利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边 或角的关系， 从而确定三角形的形状。

特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用。

课后作业 课本第 12 页。

板书设计课后反思

正弦定理求三角形面积_正弦定理

《正弦定理的证明》微课教学设计 一、教学内容分析 “正弦定理”是《普通高中课程标准数学教科书·数学（必修 5）》（人教 B 版）第一 章第一节的主要内容，它既是初中“解直角三角形”内容的直接延拓，也是三角函数一般知 识和平面向量等知识在三角形中的具体运用， 是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题 及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。为什么要研究正弦定理？正 弦定理是怎样发现的？其证明方法是怎样想到的？还有别的证法吗？这些都是教材没有回 答，而确实又是学生所关心的问题。

本节课是“正弦定理”教学的第一课时，其主要任务是引入并证明正弦定理，在课型上 属于“定理教学课”。因此，做好“正弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌 握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且通过对定理的探究，能使学生体验到 数学发现和创造的历程，进而培养学生提出问题、解决问题等研究性学习的能力。

二、学生学习情况分析 学生在初中已经学习了解直角三角形的内容， 在必修 4 中， 又学习了三角函数的基础知 识和平面向量的有关内容，对解直角三角形、三角函数、平面向量已形成初步的知识框架， 这不仅是学习正弦定理的认知基础， 同时又是突破定理证明障碍的强有力的工具。

正弦定理 是关于任意三角形边角关系的重要定理之一， 《课程标准》强调在教学中要重视定理的探究 过程，并能运用它解决一些实际问题，可以使学生进一步了解数学在实际中的应用，从而激 发学生学习数学的兴趣，也为学习正弦定理提供一种亲和力与认同感。

三、设计思想 培养学生学会学习、 学会探究是全面发展学生能力的重要前提， 是高中新课程改革的主 要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢？建构主义认为：“知识不是被动吸收的，而 是由认知主体主动建构的。”这个观点从教学的角度来理解就是：知识不是通过教师传授得 到的，而是学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人（在教师指导和学习 伙伴的帮助下）协作，主动建构而获得的，建构主义教学模式强调以学生为中心，视学生为 认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。本节“正弦定理”的教学，将遵 循这个原则而进行设计。

四、教学目标 1、知识与技能：通过对任意三角形的边与其对角的关系的探索，掌握正弦定理的内容 及其证明方法。

2、过程与方法：让学生从已有的知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关 系，引导学生通过观察、归纳、猜想、证明，由特殊到一般得到正弦定理等方法，体验数学 发现和创造的历程。

3、情感态度与价值观：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作 和评价，实现共同探究、教学相长的教学情境。

五、教学重点与难点重点：正弦定理的发现和推导 难点：正弦定理的推导 教学准备：制作多媒体课件，学生准备计算器，直尺，量角器。

六、教学过程设计 （一）设置情境 教师：展示情景图如图 1，船从港口 B 航行到港口 C，测得 BC 的距离为 ，船在港口 C 卸货后继续向港口 A 航行，由于船员的疏忽没有测得 CA 距离，如果船上有测角仪 我们能否计算出 A、B 的距离？学生：思考提出测量角 A，C。

教师：若已知测得 ，， 离？如何计算A、B两地距师生共同回忆解直角三角形，①直角三角形中，已知两边，可以求第三边及两个角。

②直角三角形中，已知一边和一角，可以求另两边及第三个角。

教师引导： 是斜三角形，能否利用解直角三角形，精确计算 AB 呢？学生：（思考交流）得出过作于（如图 2），把分为两个直角三角形，解题过程，学生阐述，教师板书。

解：过 作 于在中，，在中，教师继续引导：在上述问题中，若，，能否用、 、表示 呢？学生：发现，教师：引导 ，在刚才的推理过程中，你能想到什么？你能发现什么？学生：发现即然有，那么也有，。教师：引导，，，我们习惯写成对称形式，，， 因此我们可以发现，是否任意三角形都有这种边角关系呢？ 设计意图：兴趣是最好的老师。如果一节课有良好的开头，那就意味着成功的一半。因 此，我通过从学生日常生活中的实际问题引入，激发学生思维，激发学生的求知欲，引导学 生转化为解直角三角形的问题，在解决问题后，对特殊问题一般化，得出一个猜测性的结论 ——猜想，培养学生从特殊到一般思想意识，培养学生创造性思维能力。（二）数学实验，验证猜想教师：给学生指明一个方向，我们先通过特殊例子检验是否成立，举出特例。

（1）在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 分别为 ， ， ，对应的边长 a：b：c 为 1：1：1，对应角的正弦值分别为，，，引导学生考察，，的关系。（学生回答它们相等） ， ， ，对应的边长（2）、在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 分别为a：b：c 为 1：1： 相等），对应角的正弦值分别为，，1；（学生回答它们（3）、在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 分别为，，，对应的边长 a：b：c 为 1： 相等）（图 3）：2，对应角的正弦值分别为，，1。（学生回答它们教师：对于呢？ ABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c,学生：思考交流得出，如图 4，在 Rt则有，，又,则从而在直角三角形 ABC 中，教师：那么任意三角形是否有呢？借助于电脑与多媒体，利用《几何画板》软件，演示正弦定理教学课件。边演示边引导 学生观察三角形形状的变化与三个比值的变化情况。结论：对于任意三角形都成立。设计意图： 通过 《几何画板》 软件的演示， 使学生对结论的认识从感性逐步上升到理性。

（三）证明猜想，得出定理 师生活动： 教师：我们虽然经历了数学实验，多媒体技术支持，对任意的三角形，如何用数学的思想方法证明呢？前面探索过程对我们有没有启发？学生分组讨论， 每组派一个代表总结。（以下证明过程，根据学生回答情况进行叙述） 学生：思考得出 (1)在 中，成立，如前面检验。(2)在锐角三角形中，如图 5 设，，作：，垂足为在中，在中，同理，在中，(3)在钝角三角形中，如图 6 设 交 的延长线于为钝角，，，，作在中，在中，同锐角三角形证明可知教师：我们把这条性质称为正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的 比相等，即教师：还有其它证明方法吗？ 学生：思考得出，分析图形（图 7），对于任意△ABC，由初中所学过的面积公式可以得出：，而 由 图 中 可 以 看 出 ：，，==等式中均除以后可得，即 程。。

教 师 边 分 析 边 引 导 学 生 ， 同 时 板 书 证 明 过在刚才的证明过程中大家是否发现三角形高，三角形的面积： 学，能否得到新面积公式 生 ：得到三角形面积公式 设计意图：经历证明猜想的过程，进一步引导启发学生利用已有的数学知识论证猜想， 力图让学生体验数学的学习过程。

（四）利用定理，解决引例 师生活动： 教师：现在大家再用正弦定理解决引例中提出的问题。

学生：马上得出在中，（五）了解解三角形概念 设计意图：让学生了解解三角形概念，形成知识的完整性。教师：一般地，把三角形的三个角、、和它们的对边 、 、 叫做三角形的元素，已知，三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形。

设计意图：利用正弦定理，重新解决引例，让学生体会用新的知识，新的定理，解决问 题更方便，更简单，激发学生不断探索新知识的欲望。

（六）运用定理，解决例题 师生活动： 教师：引导学生从分析方程思想分析正弦定理可以解决的问题。

学生：讨论正弦定理可以解决的问题类型：（1） 如果已知三角形的任意两个角与一边， 求三角形的另一角和另两边， 如；（2）如果已知三角形任意两边与其中一边的对角，求另一边与另两角，如 。师生：例 1 的处理，先让学生思考回答解题思路，教师板书，让学生思考主要是突出主 体，教师板书的目的是规范解题步骤。

例 1：在 中，已知 ， ， ，解三角形。分析“已知三角形中两角及一边，求其他元素”，第一步可由三角形内角和为 出第三个角∠C，再由正弦定理求其他两边。

例 2：在 中，已知 ， ， ，解三角形。求例 2 的处理，目的是让学生掌握分类讨论的数学思想，可先让中等学生讲解解题思路， 其他同学补充交流。

学生：反馈练习（教科书第 5 页的练习） 用实物投影仪展示学生中解题步骤规范的解答。设计意图：自己解决问题，提高学生学习的热情和动力，使学生体验到成功的愉悦感， 变“要我学”为“我要学”，“我要研究”的主动学习。

（七）尝试小结： 教师：提示引导学生总结本节课的主要内容。

学生：思考交流，归纳总结。

师生：让学生尝试小结，教师及时补充，要体现：（1）正弦定理的内容（）及其证明思想方法。（2）正弦定理的应用范围：①已知三角形中两角及一边，求其他元素；②已知三角形 中两边和其中一边所对的角，求其他元素。

（3）分类讨论的数学思想。

设计意图：通过学生的总结，培养学生的归纳总结能力和语言表达能力。

（八）作业设计 作业：第 10 页[习题 1.1]A 组第 1、2 题。