《正方体的平面展开图》教学案例|正方体平面展开图

　　一、背景说明　　《正方形的平面展开图》是新一轮教育改革新课标背景下，北师大教材七年级上第一章《丰富图形世界》中的一节。发展学生的空间观念是《正方形的平面展开图》学习的核心目标，而能由正方体的形状想象出平面展开图形，由平面图形想象出实物的形状，进行几何体与展开图之间的转化是空间观念的重要方面。同时，学生需要根据已有的生活背景和初步的数学活动经验，从观察正方体开始，通过观察、操作、想象、推理、交流等大量数学活动，逐步形成自己对空间与图形的认识。
　　二、主题说明
　　（一）鼓励学生主动参与，充分实践，达到解决问题的目的
　　让学生体会学习数学的一种方法：操作。操作数学是在新课程标准下提出的一种学习数学的方法，让学生在操作中去体会、感知、验证，启发学生思考，使学生操作与思考相结合，从而解决问题并积累数学活动经验。本节中有五处需要学生操作。第一，准备阶段：要求每位学生在课前自己动手制作3～５个小正方体。第二，在课堂上，利用棱柱平面展开图的方法探索正方体的平面展开图的过程。第三，在探索是否有别的正方体平面展开图时。第四，在验证一平面展开图能否围成一个正方体时。第五，探究圆柱、圆锥的侧面展开图时。
　　（二）师生互动，合作学习
　　数学教学是数学活动的教学，是师生互动合作、共同发展的过程。教师是整个活动的组织者、引导者和参与者，能更有效地引导学生参与教学活动中，在活动中激发学生的学习兴趣和学习潜能，促使他们在自主探索的基础上与同学、教师合作交流的过程中真正理解和掌握数学知识与技能、数学思想与方法，并获得广泛的数学活动经验，从而提高解决问题的能力，学会学习。同时使学生在意志力、自信心、理性思维等方面也得到良好的发展。本节教学即在操作与交流中让学生经历知识的形成与应用的过程，形成新的知识，而不是单纯模仿与记忆。
　　三、教学过程
　　（一）教学目标
　　1.知识与技能目标。通过充分的实践、探索、交流，使学生能将一个正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形；了解圆柱、圆锥的侧面展开图；棱根据展开图判断和制作简单的立体图形；经历展开与折叠、模型制作等活动，发展空间观念，积累数学活动经验。
　　2.过程与方法目标。学生在操作、交流合作、师生互动中获得知识，积累数学活动经验，提高数学能力。
　　3.情感与态度目标。让学生充分经历操作实践、探索交流，获得成功的体验，使学生在意志力、自信心和理性思维等方面获得提升和发展。
　　（二）教学重点
　　1.将一个正方体的表面沿某些棱展开，展成平面图形。
　　2.圆柱、圆锥的平面展开图。
　　（三）教学难点
　　鼓励学生尽可能多的将一个正方体展成平面图形，并用语言描叙其过程。
　　（四）课前准备
　　1.每位学生准备3个自制小正方体、圆柱、圆锥各一个。
　　2.每位学生准备一把剪刀。
　　（五）教学过程
　　1.创设问题情境，引入新课。
　　师：在前面的学习中，我们可以根据所给的图形折叠成六棱柱、三棱柱及四棱柱，但如果给出几何体，例如我们熟悉的正方体，如果沿某些棱剪开，会得到什么样的平面图形呢？这样的平面图形有多少种呢？下面我们就来通过具体操作和合作交流来回答这几个问题。
　　（这样通过具体设问使学生明确本节课要研究的课题及用什么方法来研究探索。）
　　2.探索新知。
　　师：正方体是四棱柱，是否可以根据棱柱的展开图将它展开？我们先来回忆一下棱柱的展开图必须满足什么条件呢？
　　（引导学生找出研究正方体平面展开图的研究方向——类比棱柱平面展开图。）
　　生：棱柱的平面展开图必须满足两个条件：第一，中间的长方形的个数与两侧多边形的边数相同。第二，两个多边形应位于中间长方形的两侧。
　　师：下面同学们就用你手中的工具将正方体仿造棱柱的展开图展开，小组内交流、讨论，最后派一代表陈述你们小组的想法。
　　（学生在具体操作中体会有序的思考和分类讨论的数学思想；感知正方体仿照棱柱的展开图展开的方法；验证其六种平面展开图。此时教师深入学生中去，对较困难的学生予以指导。）
　　生：我们组认为把正方体当成四棱柱，只需任意相对的两个面作为上、下底面，其余四个面作为侧面，将上、下底面与侧面相连底四条棱任意剪开三条，再将四条侧棱任意剪开一条，就可以得到正方体的平面展开图。我们的展开图有：■
　　师：请同学们观察上述展开图有什么特征吗？
　　（学生小声交流讨论。）
　　师生共析:正方体作为四棱柱仿照棱柱的展开图共有六种，但正方体是一个六个面都是正方形的特殊四棱柱，是否还有别的正方体平面展开图呢？请同学们试一试还能得到正方体的平面展开图？
　　（学生再次动手操作，然后交流讨论。）
　　生：我将正方体的每条棱编号，如图所示，如果沿着②→③→④剪开后，再分别沿着⑤→⑨→⑩，剪开，再剪开⑧便可得到展开图（7）。
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　　生：类似的还可以得到下图（8）、（9）。
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　　师：同学们思考这三个图有什么特征？
　　生：都是横看是三行，上面一行都是两个面并排，中间一行都是三个面并排，下面一行都是一个面按顺序排列。
　　师：（出示两个六个面组成的平面图形，如图（10）、（11））请同学们思考这两个图形能折叠成一个正方体吗？
　　（引导学生利用逆向思维拓展学生的空间想象能力，将正方体的平面展开图补充完整，同时黑板上已有序地展示出正方体的11种平面展开图。）
　　师：（出示图（12））如图（12），这个平面图形经过折叠后能否围成一个正方体？
　　生：（稍微思考后回答）我觉得不能，因为这样折叠总会有两个面重合。
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　　师：是不是这样的呢？我们可以用手中的图形操作一下。
　　（利用操作验证空间想象。）
　　生：（学生动手操作后先后回答）不能，有两个面重合了。
　　师：那么，老师这儿有这样一个问题；将正方体的某些能剪开，展成一个平面图形，需要剪开几条棱呢？
　　生：（学生经过实际数一数、讨论）需要剪开7条棱。
　　师生共析：因为正方体有12条棱，6个面，将其表面展成一个平面图形，其面与面之间相连的棱有5条，因此需要剪开7条棱。
　　师：刚才我们研究了正方体的表面展开图，请同学们思考圆柱、圆锥的侧面展开图是怎样的呢？请同学们动手画一画，再动手操作验证。
　　（先让学生发挥空间想象，将侧面展开图画出来，再操作验证，教师对困难学生加以指导。）
　　3.小结。
　　（1）经过动手操作、合作交流得到了正方体的11种平面展开图，发展了我们的空间观念。（2）通过想象和操作，得到了圆柱、圆锥的侧面展开图。
　　四、结果说明
　　本节课教学容量大，学生活动多，师生互动交流活动量大，教师在教学活动中思路清晰，重难点突出，把握恰当，时间安排合理，能较好的调动学生主动参与，合作交流，圆满完成教学任务。