_人带猫,鸡,米过河问题1

承 诺 书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮

件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他

公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反

竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 江西环境工程职业学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 余钦玉

指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名) ： 教练组

日期： 2012年 8月 8 日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

编 号 专 用 页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

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摘要 本文主要研究的是人带着猫、鸡、米过河的问题。利用穷举法，列出各种可能的原因，再用四维向量，经过连线求解，可以的出两种结果，分别是经过(0, 0, 0, 1)到(0, 0, 0, 0)和经过(0, 1, 0, 0)到(0, 0, 0, 0)而它们是等优的。

关键词：穷举法、四维向量。

一 问题的提出

模仿“商人过河”模型，做下面游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。设计一个过河方案，建立数学模型，并使渡河次数尽量地少。

二 问题的分析

因为这是个简单问题，研究对象少所以可以用穷举法，简单运算和图论 即可解题。从状态（1,1,1,1）经过奇数次运算变为状态（0,0,0,0）的状态转移过程为什么是奇数次？我们注意到过河有两种，奇数次的为从南岸到北岸，而偶数次的为北岸回到南岸，因此得到下述转移方程，所以最后应该是事件结束时状态转移数为奇数次。

三 基本假设

3,1假设船，划船的人外至多能载猫、鸡、米三者之一。

3,2当人不在场时，猫一定会吃鸡、鸡一定会吃米。

四 定义符号说明

我们将人，猫，鸡，米依次用四维向量中的分量表示，当一物在此岸时，相应分量记为1，在彼岸时记为0. 如向量（1,0,1,0）表示人和鸡在此案，猫和米在彼岸，并将这些向量称为状态向量。

五 模型的建立

我们将人，猫，鸡，米依次用四维向量中的分量表示，即（人，猫, 鸡, 米）。

状态向量：各分量取1表示南岸的状态，例如表0，1，1，0）表示狗，鸡在南岸，人，米在北岸；由于问题中的限制条件，有些状态是允许的，有些状态是不允许的。凡问题可以允许存在的状态称为可取状态。对本问题来说，可取状态向量可以用穷举法列出来：

（1, 1, 1, 1），（1, 1, 1, 0），（1, 1, 0, 1），（1, 0, 1, 1），（1, 0, 1, 0）；（,0, 0, 0, 0），（0, 0, 0, 1），（0, 0, 1, 0），（0, 1, 0, 0）, （0,1,0,1）.

六 模型的求解

经过连线求解可以知道有以下图形：

上图又可以简化为：

即：

图6.1人 猫 鸡 米 过河示意图

七 结果分析

从图看出有二解，分别是经过（0,0,0,1）到（0,0,0,0）和经过（0,1,0,0）到（0,0,0,0）而它们是等优的。

八 模型的评价与改进

优点：本算法将研究对象用四维向量中的分量表示运用穷举法找出所有可取状态向量再用一些基础运算方法将结果列出来再以图形表示出来。整个过程易懂合理。

缺点：这里用的是图论方法解题。可以用别的方法试试！

参考文献:

数学建模实验 周义仓，赫孝良编 西安：西安交通大学出版社，1999

数学建模竞赛赛题简析与论文点评：西安交大近年参赛论文选编 赫孝良等[选编] 西安：西安交通大学出版社，2002

数学建模案例分析 白其峥主编 北京：海洋出版社，2000

数学建模案例精选 朱道元等编著 北京：科学出版社，2003

数学建模导论 陈理荣主编 北京：北京邮电大学出版社，1999

数学建模：原理与方法 蔡锁章主编 北京：海洋出版社，2000

数学建模的理论与实践 吴翊，吴孟达，成礼智编著 长沙：国防科技大学出版社，1999 数学建模 沈继红等编著 哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社，1998