极坐标法在等差数列中的应用 极坐标法

　　江苏泰州中学附属初中225300 　　 　　摘要：为说明极坐标在解题中的应用，本文归类介绍了极坐标法在证明三线段倒数成等差数列中的应用，供中学数学教师教学阅读时参考.
　　关键词：极坐标；等差数列；应用
　　
　　[⇩]应用经过两个已知点P1（ρ1，θ1）和P2（ρ1，θ1）的直线方程：
　　=+（ρ1≠0，ρ2≠0）证明
　　例1已知菱形ABCD的边长为a，对角线交于O点，过点O作直线EF分别交AB，AD延长线于点E，F.
　　求证：，，成等差数列.
　　[F][D][A][E][B][C][x][O][-α][a][a][a][a][α]
　　图1
　　证明如图1，以A为极点，AC的延长线为极轴建立极坐标系，设F（f，α）、E（e，-α）、O（acosα，0），则EF：=+. 将O点坐标代入EF方程中得=+.
　　所以=+，即=+.
　　所以，，成等差数列.
　　[⇩]应用圆心坐标为C（a，0）,半径为r的圆的方程ρ2－2ρacosθ+a2－r2=0证明
　　例2 自圆外一点P向圆引割线交圆于点R，S，又作切线PA，PB，AB与PR交于Q，求证：，，成等差数列.
　　[S][A][Q][P][R][D][C][x][B]
　　图2
　　证明如图2，以P为极点，P点与圆心C的连线的延长线为极轴建立极坐标系. 设C（a，0），且⊙C的半径为r，则⊙C的方程为ρ2－2ρacosθ+a2－r2=0，PR，PS是关于ρ的一元二次方程的两根，所以由韦达定理，得+==. 再设∠APC=α，点A为⊙C的切点，则PQ==PAcosα・==，其中sinα=.
　　所以PQ=a1-
　　・. 所以=. 所以+==.
　　故，，成等差数列.
　　[⇩]应用圆锥曲线方程ρ=证明
　　例3 已知椭圆+=1（a＞b＞0）上三点的横坐标成等差数列，求证：所对应的同一焦点的三条焦半径也成等差数列.
　　[y][x][Q][N][M][F][O]
　　图3
　　证明 如图3，以椭圆的左焦点F为极点，Fx为极轴建立极坐标系，则椭圆的方程为ρ=，即ρcosθ=－p.
　　所以椭圆上任意一点的横坐标x=ρcosθ－FO=－（p+FO）. 设M，N，Q为椭圆上三点，它们的横坐标分别为x1，x2，x3，极坐标分别为（ρ1，θ1），（ρ2，θ2），（ρ3，θ3），且x1，x2，x3成等差数列，则2x2=x1+x3. 所以2
　　－（ρ+FO）=+－2（ρ+FO），化简得ρ1+ρ3=2ρ2. 因此这三点所对应的焦半径也成等差数列.
　　特别地，由椭圆的对称性可知：对右焦点该结论也成立.
　　综上所述可知，应用极坐标法证明a，b，c的倒数成等差数列，关键在于根据图形特点选择好极坐标系，设置好相关点的坐标，再运用相关公式和方程列出关系式，最后通过三角函数的运算化简得到+=，即命题获证.
　　教学实践证明，引导学生学习高中选修内容，并对其应用进行研究，有利于帮助学生全面理解高中平面解析几何的知识，有利于培养学生的探索精神和创新意识，这既符合新课程改革关于“以课程标准为指导，以教材为基础，合理使用课本，加强教学科研”的理念要求，又能指导学生感悟数学、掌握基础知识和基本技能及方法，提高综合解题水平，启发思维、开阔视野，帮助学生提高数学思维能力和综合运用知识解题的能力.
　　总之，我们要重视对这一新内容的研究，并通过专题讲座的形式，使学生更加热爱数学，对数学产生浓厚的兴趣.
　　故笔者建议，教师应加强对极坐标新内容的研究，以弥补高中解析几何中原有课程知识点的不足.
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