数形结合思想在高中数学各章节中的应用:数形结合思想在高中数学中的应用
【摘要】恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，也就是对题目中的条件和结论既分析其代数含义又挖掘其几何背景。“数缺形时少直观，形少数时难入微”。
【关键词】数形结合;以数解形;以形助数;思想意识;思维视野;解题途径
恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，也就是对题目中的条件和结论既分析其代数含义又挖掘其几何背景。“数缺形时少直观，形少数时难入微”，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以形助数”，而第二种情形是“以数解形”。数形结合的重点是研究“以形助数”。
运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些问题，可起到事半功倍的效果。因此，平时教学时要注意培养学生这种思想意识，争取胸中有图，见数想图，以开拓学生的思维视野。现将可以解决的问题归纳如下：
1、解决集合问题：在集合运算中常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算。
例1、已知全集U=R，集合B={x|x4}，那么集合A∩（CUB）等于（）
A．{x|-2|≤x<4}B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|-2≤x<-1}D．{x|-1≤x≤3}
分析:不等式表示的集合通过数轴解答.
解:在数轴上先画出{x|-1≤x≤4},再画出集合A={x|-2≤x≤3},取其公共部分如图所示阴影部分就是集合A∩（CUB）,故选D
2、解决函数问题：借助于图像研究函数的性质是一种常用的方法，函数图像的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。
例2、已知f(x)=(x–a)(x–b)–2（其中a＜b）且α、β是方程f(x)=0的两根（α＜β，则实数a、b、α、β的大小关系为()
A.α＜a＜b＜βB.α＜a＜β＜b
C.a＜α＜b＜βD.a＜α＜β＜b
解析：a,b是方程g(x)=(x–a)(x–b)=0的两根，在同一坐标系中作出函数f(x)、g(x)的图象如图所示：
答案：A
3、解决方程与不等式的问题：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数的图像的交点问题；处理不等式问题时，从题目的条件和结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。
例3、已知0 A.1个B.2个C.3个D.1个或2个或3个
解析：判断方程的根的个数就是判断图象y=a|x|与y=|logax|的交点个数，画出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选（B）。
4、解决三角函数问题：有关三角函数单调区间的确定或求字母取值范围或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图像来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。
例4、函数y=f(x)=sin x+2|sin x| (x∈［0，2π］)的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则实数k的取值范围是.
解析：在坐标系中作出函数y=f(x)的图象，如图，因为直线y=k与y=f(x)的图象有且仅有两个不同的交点，有图象可知：1
例5、动点P（a,b)在不等式组x+y-2≤0
x-y≥0
y≥0表示的平面区域内部及边界上运动，则ω=a+b-3a-1的取值范围是
解析：因为ω=1+b-2a-1而b-2a-1表示点（1，2）与点（a，b）连线的斜率,则b-2a-1∈(-∞,-2]∪［2,+∞)，所以ω=a+b-3a-1∈(-∞，-1]∪［3，+∞).
6、解决数列问题：数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于n的函数.用数形结合的思想研究数列问题时借助函数的图像进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。
例6、已知数列an=n-44n-45，则数列中的最
大项是（）
A、a45B、a46C、a44D、a43
解析：由函数y=x-44x-45=1+1x-45的图像及性质易知选B
利用数形结合思想解决问题，要注意数与形的完整结合，由数想形时，一定要准确、全面，特别是图形一定要准确。数形结合常用的辅助工具：数轴(直角坐标系)、两点间距离公式、向量的模，函数的图象，曲线的方程，直线的斜率、截距，二元一次不等式表示平面区域等。
数形结合思想是一种可使复杂问题简单化、抽象问题具体化的常用的数学思想方法。要想提高学生运用数形结合思想的能力，需要教师耐心细致的引导学生学会联系数形结合思想、理解数形结合思想、运用数形结合思想、掌握数形结合思想。