[课时46:导数在实际生活中的应用] 导数应用

课时46：导数在实际生活中的应用

教学目标：

1、通过生活中优化问题的学习，体会导数在解决实际问题中的作用； 2、通过实际问题的研究，促进学生分析问题、解决问题以及数学建模能力的提高．

教学重点：如何建立实际问题的目标函数． 教学难点：如何建立实际问题的目标函数． 教学过程： 一、课前预习

1．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元) 与年产量x (单位：万件) 的函数关系1

式为y ＝－3x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量 为___ ____．

2．一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后t 秒内列车前进的距离为S ＝27t －0.45t 2米，则列车刹车后______秒车停下来，期间列车前进了___ ___米．

3．将边长为1 m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中(梯形的周长)2一块是梯形，记s ＝s 的最小值是__ _____．

梯形的面积

4．挖一条隧道，截面下方为矩形，上方为半圆(如图) ， 如果截面积为20 m 2，当宽为__ _____时，使截面周长最小．

二、建构数学

1、解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义．

2、根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较． 3、解应用题一般有四个要点步骤：设－列－解－答． 三、数学运用

例1．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下的工程只要建两端桥墩之间的桥面和桥墩。经预测一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+x ) x 万元，假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元。 （1）试写出y 关于x 的函数关系式；

（2）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？

例2．如图所示，有一块半径长为1米的半圆形钢板，现要从中截取一个内接等

腰梯形部件ABCD ，设梯形部件ABCD 的面积为y (1)按下列要求写出函数关系式：

①设CD =2x (米) ，将y 表示成x 的函数关系式； ②设∠BOC =θ(rad ) ，将y 表示成θ的函数关系式(2)求梯形部件ABCD 面积y 的最大值．

四、达标检测 1．如图，现有一个以∠AOB 为圆心角、湖岸OA 与OB 为半径的扇形湖面AOB ．现欲在弧AB 上取不同于A 、B 的点C ，用渔网沿着弧AC (弧AC 在扇形AOB 的弧AB 上) 、半径OC 和线段CD (其中CD ∥OA ) ，在该扇形湖面内隔出两个养

π

殖区域——养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ．若OA ＝1km ，∠AOB ＝3．求所需渔网长度(即图中弧AC 、半径OC 和线段CD 长度之和) 的取值范围．

养殖区域Ⅰ

O A

2．如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A ，B 及CD 的中点P 处．AB ＝20km ，BC ＝10km ．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A ，B 等距的一点O 处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO ，BO ，PO ．记铺设管道的总长度为y km ．

（1）设∠BAO =θ（rad ），将y 表示成θ的函数； （2）当θ为多少时，铺设的污水管道的总长度最短。

3．如图，ABCD 是正方形空地，边长为30m ，电源在点P 处，点P 到边AD ，AB 距离分别为9m ，3m ．某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF ，MN :NE =16:9．线段MN 必须过点P ，端点M ，N 分别在边AD ，AB

上，设AN =x （m ），液晶广告屏幕MNEF 的

面积为S (m2) ． (1) 用x 的代数式表示AM ； （2）求S 关于x 的函数关系式及该函数的定义域；

（3）当x 取何值时，液晶广告屏幕MNEF

A

的面积S 最小？

N

（第3题图）

B

B