[直线内插法在工程经济中的应用]直线内插法怎么算

　　摘 要：本文结合几个实例以及图表来说明直线内插法在工程经济中的应用，并总结归纳了直线内插法的几种应用，分别是在计算内部收益率的应用，在计算累计概率中的应用，在货币时间价值的计算中求复利系数等等。
　　关键词：直线内插法 工程经济 应用
　　
　　直线内插法在工程经济中应用很广泛，如在基本建设投资经济效果的动态分析中，求内部收益率；在对建设项目进行经济评价采用风险分析时，求累计概率的大小；在货币时间价值的计算中，求复利系数。下面我们结合实例来讲讲内插法在工程经济中的应用。
　　
　　一、直线内插法在计算内部收益率中的应用
　　
　　直线内插法在内部收益率的计算中应用较多。内部收益率是使投资项目在一系列收入和支出的现金流量净现值等于零时的折现率。通过内部收益率的计算，可以判断该项目是否可行，如果计算出来的内部收益率高于基准收益率，则方案可行；如果计算出来的内部收益率小于基准收益率，则方案不可行。一般情况下，内部收益率的计算都会涉及直线内插法的计算。不过在具体计算时又可分为以下几种：
　　1.如果某一个投资项目是在投资起点一次投入，经营期内各年现金流量相等，而且是后付年金的情况下，可以先按照年金法确定出内部收益率的估计值范围，再利用直线内插法确定内部收益率。
　　2.如果上述条件不能同时满足，就不能按照上述方法直接求出，而是要通过多次试算求出内部收益率的估值范围，再采用内插法确定内部收益率。
　　下面我们举个简单的例子进行说明：
　　例1：某大型建筑公司现有一投资方案，资料如下：
　　初始投资一次投入2000万元，经营期三年，基准收益率为10%，经营期现金净流量有如下两种情况：（1）每年的现金净流量一致，都是800万元；（2）每年的现金净流量不一致，第一年为600万元，第二年为800万元，第三年为1200万元。
　　问在这两种情况下各自的内部收益率，并判断两方案是否可行。
　　（1）根据第一种情况，知道投资额在初始点一次投入，且每年的现金流量相等，都等于1600万元，所以应该直接按照年金法计算，则NPV=800×(P/A，i，3)－2000。
　　由于内部收益率是使投资项目净现值等于零时的折现率，所以令NPV=0，则800×(P/A，i，3)-2000=0,(P/A，i，3)=2000÷800=2.5。
　　查年金现值系数表，确定2.5介于2.5313（对应的折现率i为9%）和2.4869（对应的折现率i为10％），可见内部收益率介于9％和10％之间。根据上述插值法的原理，可设内部收益率为i，现在我们建立坐标系，如下图1，利用相似三角形原理，有 = ,则根据原公式，即 = ，i =10%，i =9%，则这里β表示系数，β =2.4689，β =2.5313，而根据上面的计算得到β等于2.5，所以可以列出如下式子：
　　 = ?圯i=9.5%（如图1所示）。
　　因为企业的基准收益率为10%，内部收益率小于10%，所以该方案不可行。
　　（2）根据第二种情况，不能直接用年金法计算，而是要通过试算来求。
　　这种方法首先应设定一个折现率i ，再按该折现率将项目计算期的现金流量折为现值，计算出净现值NPV1。如果NPV1＞0，说明设定的折现率i 小于该项目的内部收益率，此时应提高折现率为i ，并按i 重新计算该投资项目净现值NPV2；如果NPV1＜0，说明设定的折现率i 大于该项目的内部收益率，此时应降低折现率为i ，并按i 重新将项目计算期的现金流量折算为现值，计算净现值NPV2。
　　经过上述过程，如果此时NPV2与NPV1的计算结果相反，即出现净现值一正一负的情况，试算过程即告完成，因为零介于正负之间(能够使投资项目净现值等于零时的折现率才是内部收益率)，此时可以用直线内插法计算了；但如果此时NPV2与NPV1的计算结果符号相同，即没有出现净现值一正一负的情况，就继续重复进行试算工作，直至出现净现值一正一负。本题先假定内部收益率为10%，则NPV1=600×0.9091+800×0.8264+1200×0.7513-2000=108.14万。
　　因为NPV1大于0，所以提高折现率再试，设i=12%,NPV2=600×0.8929+800×0.7972+1200×0.7118-2000=27.66万，仍旧大于0，则提高折现率i=14%再试，NPV3=600×0.8772+800×7695+1200×0.6750-2000=-48.08万。
　　
　　这里我们需要注意一个情况：按照内部收益率的定义，它和净现值的关系如图3所示，是由无数个点组成的一条光滑的曲线，但是我们在计算中往往将其看成一条直线，并求出其直线方程，以便可以计算出和任意一个净现值对应的内部收益率。
　　
　　二、直线内插法在计算累计概率中的应用
　　
　　同样的，直线内插法在计算累计概率中也有一定的作用，下面就以一道例题来说明：
　　例2：设某项目投资为40万元，建设期为1年。据预测，项目生产期各年收入相同，年收入为10万元、20万元的概率分别为0.4和0.6。按折现率10%计算，又对生产期作了概率预测，见表1试对该项目投资的可行性作出评价。
　　
　　根据表2的数据，我们现在需要计算出当净现值为0时的累计概率的值，建立直角坐标系，如图3，即有这样的方程式： = , = ?圯P =0.56,通过插入法可得当PW=0时的累计概率P =0.56；P(NPV≥0=1-P（NPV＜0）=1-0.56=0.44,净现值大于或等于0时的累计概率为0.44，该项目不可行。
　　通过插入法计算出净现值大于或等于0的累计概率，根据计算得出的累计概率判断项目承担风险能力的大小。累计概率越大，说明项目承担的风险越小；反之，风险就越大。
　　通过这类风险分析，可以使投资者加强风险意识，采取一定的应变措施，将风险减小到最小。
　　
　　三、直线内插法在求复利系数的应用
　　
　　下面我们同样通过一个例题来说明这种应用。
　　例3：已知i=4%，年期为5年时一次支付复利因子为1.216653；i=8%，年期为5年时一次支付复利因子为1.469328，现在要求i=5%，年期为5年时的一次支付复利因子为多少？
　　解：同样根据内插法公式 = 可得这样的方程式： = ?圯β=1.27982175。
　　通过内插法计算得出i=5%，年期为5年时的一次支付复利因子为1.27982175，而通过查表可得i=1.276282。如图4，由于各个复利因子组成的是一条曲线，只是我们在计算时将其近似看作是一条直线，所以在计算时就存在了一定的误差，但是这些误差可以忽略不计。
　　
　　四、直线方程在内插法中的应用
　　
　　内插法应用是假设三点在一条直线上，按照数学上两点式的有关公式，直线上任意两点间的横坐标距离之比应等于对应纵坐标距离之比，如图5，可得k= ?圯β-β = ・（i-i ）?圯 = 。
　　
　　根据以上计算可知由直线方程的计算公式与内插法的计算公式本质上是一样，只是通过两种不同的方法得出结果，因此在计算当中，用这两种中任意一种方法都是可行的。
　　
　　参考文献：
　　［１］《内插法原理及其在财务成本管理中的应用》见www.省略.
　　［２］《建筑工程经济与管理》，郑连庆等主编，华南理工大学出版社.
　　
　　注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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