游戏中的数学:扑克数学游戏
一 引例 函数f（x）＝lnx＋2x－6在区间（2，3）内有零点，那么如何找出这个零点？ 试解：如果依据定义有方程lnx＋2x－6＝0显然这个问题常规方程求解是有困难的，那么如何解决这个问题呢？
二 创设情境，引入课题
第一，大家先来看一段录像（放映CCTV2“幸运52”片段）李咏主持的猜价格游戏。
请问：主持人给出高了还是低了的提示有什么作用？如果让你猜商品的价格，你如何猜？
生甲：先初步估算一个价格如果过高了再每隔一元降低报价。
生乙：这样太慢了，先初步估算一个价格，如果高了再每隔100元降低报价，若低了每50元上涨，如果再高了，每隔20元降低若低了每隔10元上升报价……
生丙：先初步估算一个价格，如果高了再报一个价格，如果低了就报两个价格和的一半，如果高了再把报价与一半价再求和，报出和的一半如果低了就把刚刚报出的价格与前面高的价格结合起来取其一半报价……
师：经过分析大家觉得丙的说法更合理。
三 分析问题
在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？
如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆子，10km长，大约有200多根电线杆子？
想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？
生丁：通过先找中点，缩小范围，再找剩下来一半的中点，如维修工人首先从中点C，查用随身带的话机向两个端点测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD中点E来查，每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，如此查下去，不用几次，就能把故障点锁定在一两根电线杆附近。
师：我们可以用一个动态过程来展示一下（展示多媒体课件），在一条线段上找某个特定点，可以通过取中点的方法逐步缩小特定点所在的范围（即二分法思想）
假设电话线故障点大概在函数f（x）＝lnx＋2x－6的零点位置，请同学们先猜想它的零点大概是什么？我们如何找出这个零点？
学生共同探索（倡导学生积极主动，勇于探索的学习方式），有助于发挥学生学习的主动性，先分组讨论后各组发表意见，归纳如下：为了方便，我们通过取中点的方法逐步缩小零点所在的范围，第一步：取区间（2，3）的中点2.5，用计算器算得f（2.5）≈－0.084。因为f（2.5）•f（3）＜0，所以零点在区间（2.5，3）内。第二步：取区间（2.5，3）的中点2.75，用计算器算得f（2.75）≈0.512。因为f（2.5）•f（2.75）＜0，所以零点在区间（2.5，2.75）内。结论：由于（2，3） （2.5，3） （2.5，2.75），所以零点所在的范围确实越来越小了。如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小（见下表）。这样，在一定的精度下，我们可以在有限次重复相同步骤下将所得的零点所在区间内的任意一点作为函数零点的近似值，特别的可以将区间端点作为零点的近似值。
师：这样，在一定精确度下，我们可以在有限次重复相同步骤后，将所得的零点所在区间内的任意一点作为函数零点的近似值，特别的可以将区间端点作为零点的近似值。例如，当精确度为0.01时，由于|2.5390625－2.53125|＝0.0078125＜0.01，所以，我们可以将x＝2.53125作为函数f（x）＝lnx＋2x－6零点的近似值，也即方程lnx＋2x－6＝0根的近似值。
四 得出结论
1．二分法的定义
对于在区间［a，b］上连续不断且满足f（a）•f（b）＜0的函数y＝f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
2．定义分析
（1）在没有公式可用来求方程根时，可联系相关函数用二分法求零点，用二分法求出的零点一般是近似值。（2）并不是所有函数都可以用二分法求零点。必须满足在区间［a，b］内连续。
3．给定精确度ε
用二分法求函数f（x）零点近似值的步骤如下：
（1）确定区间［a，b］，验证f（a）•f（b）＜0，给定精确度ε。
（2）求区间（a，b）的中点x1。
（3）计算f（x1）：若f（x1）＝0，则x1就是函数的零点；
若f（a）•f（x1）＜0，则令b＝x1（此时零点x0∈（a，x1））。
若f（x1）•f（b）＜0，则令a＝x1（此时零点x0∈（x1，b））；
（4）判断是否达到精确度ε；即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤（2）～（4）。
结论：由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解。
整个过程师生共同探索二分法的逼近原理，引导学生理解二分法的算法思想，明确二分法求函数近似零点的具体步骤，分析条件“f（a）•f（b）＜0”、“精确度ε”、“区间中点”及“|a－b|＜ε”的意义，结合求函数f（x）＝lnx＋2x－6在区间（2，3）内的零点，理解二分法的算法思想与计算原理。
〔责任编辑：李继孔〕
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