对一道经典等差数列试题的探究|等差数列求和公式

　　试题：在等差数列{an}中，已知Sp=q，Sq=p(p≠q)，求Sp+q。　　这是等差数列中的一道经典题。多少年来，如出一辙的试题频频出现在各省市的高考中，这也成为了高考复习中教师要向学生重点传授的一个“亮点”。可谓是年年探索、岁岁有新啊！今，立足课本再探之，供参考。
　　一、以“课本”为本开发“势能”
　　目睹以上经典题，第一感觉是联想到课本等差数列章节里的如下一道练习题：
　　在等差数列{an}中，已知{an}中，已知a4=9，a9=4，求a13。
　　各省市的各类教材数列一章中几乎千篇一律的都出现了这道练习题。就事论事，我们不难得出其正确答案：a13=0。仔细琢磨，发现原来是等差数列中的第p、q、p+q三项有如下关系：
　　性质1在等差数列{an}中，有
　　ap+q=pap－qaqp－q(p≠q)。(1)
　　证明：设等差数列{an}的公差为d，则由通项公式的推广：an=am+(n－m)d（n，m∈N*），有
　　ap+q－ap=qd，(2)
　　ap+q－aq=pd，(3)
　　(2)×p－(3)×q，得
　　p(ap+q－ap)－q(ap+q－aq)=0，
　　即ap+q=pap－qaqp－q。
　　特别地，有下面的结合：
　　结论1在等差数列{an}中，若p，q∈N*，ap=q，aq=p(p≠q)，则ap+q=0。
　　结论2在等差数列{an}中，若p，q∈N*，p≠q，则ap+q=0的充要条件是pap=qaq。
　　二、“能量”转换化作“动能”
　　第二个念头：等差数列的性质1中的项能否转化为“和”的形式，即等差数列的前p、q、p+q项的和之间是否也具有类似于性质1的关系？如若成功，文首经典题便不攻自破。考虑到数列{an}是等差数列时，相关数列{Snn}（其中Sn是{an}的前n项和）也是等差数列，于是在性质1中用Spp，Sqq，Sp+qp+q分别代ap，aq，ap+q，便有性质1之“势能”化作如下动能：
　　性质2在等差数列{an}中，有
　　Sp+qp+q=Sp－Sqp－q(p≠q)(4)
　　特别地，有
　　结论3在等差数列{an}中，Sp=q，Sq=p(p≠q)，则Sp+q=－(p+q)（即为文首经典题）。
　　结论4在等差数列{an}中，若p，q∈N*，p≠q，则Sp+q=0的充要条件是Sp=Sq。
　　例1在等差数列{an}中，S6=－42，S9=87，求S15。
　　解：由性质2知，
　　S1515=S6－S96－9=－42－87－3，S15=645。
　　三、老题新做别开生面
　　当n≥2时，如若在性质2中，令p=n，q=n－1，则有
　　S2n－12n－1=Sn－Sn－1n－(n－1)=an。
　　注意到S1=a1，有下面的结论：
　　性质3在等差数列{an}中，有an=S2n－12n－1。(5)
　　下面是等差数列中很流行的一道题：
　　例２在等差数列{an}中，已知a1>0，Sp=Sq(p≠q)，试求数列{Sn}中最大的项。
　　解：因为Sp=Sq，所以由结论4得Sp+q=0。
　　又由性质２，有
　　Sp+qp+q=Sp+q－1－S1(p+q－1)－1
　　Sp+q+1p+q+1=Sp+q－S1(p+q)－1p，q∈N*，p≠q
　　注意到Sp+q=0及S1=a1>0，得Sp+q－1>0，Sp+q+10，Sp+q+10，ap+q2+1<0，故等差数列{an}在N*上严格递减。所以，{an}的前p+q2项和最大。
　　（作者单位：河南省兰考县第一高级中学）